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CHAPITRE V.

donc divisible par une certaine puissance de $\mu ,$ par exemple par $\mu ^{p}.$

Soit maintenant $\mathrm {J} '$ le déterminant fonctionnel ou jacobien de $\Phi '$ et de $\mathrm {F} \,;$ on aura

$\mathrm {J} =\mu \mathrm {J} '.$

de sorte que $\mathrm {J} '$ ne sera plus divisible que par $\mu ^{p-1}.$

Ainsi, après $p$ opérations au plus, on arrivera à un jacobien qui ne s’annulera plus avec $\mu$ et qui correspondra, par conséquent, à une intégrale qui ne se réduira pas pour $\mu =0$ à une fonction de $\mathrm {F} _{0}.$

Par conséquent, s’il existe une intégrale $\Phi$ analytique et uniforme et distincte de $\mathrm {F} ,$ mais telle que $\Phi _{0}$ soit fonction de $\mathrm {F} _{0},$ on en pourra toujours trouver une autre de même forme et qui ne se réduira pas à une fonction de $\mathrm {F} _{0}$ pour $\mu =0.$

Nous avons donc toujours le droit de supposer que $\Phi _{0}$ n’est pas fonction de $\mathrm {F} _{0}.$

82.Je dis maintenant que $\Phi _{0}$ ne peut dépendre des $y.$

Si en effet $\Phi _{0}$ dépend des $y,$ ce sera une fonction périodique de ces variables, de sorte que nous pourrons écrire

$\Phi _{0}=\Sigma \mathrm {A} e^{{\sqrt {-1}}(m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+\ldots +m_{n}y_{n})}=\Sigma \mathrm {A} \zeta ,$

les $m_{i}$ étant des entiers positifs ou négatifs, les $\mathrm {A}$ des fonctions des $x_{i}$ et la notation $\zeta$ représentant pour abréger l’exponentielle imaginaire qui multiplie $\mathrm {A} .$

Cela posé, nous avons

$[\mathrm {F} _{0},\,\Phi _{0}]=\sum {\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}{\frac {d\Phi _{0}}{dy_{i}}},$

puisque $\mathrm {F}$ ne dépend pas des $y$ et que les ${\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dy_{i}}}$ sont nuls.

D’autre part,

${\frac {d\Phi _{0}}{dy_{i}}}=\Sigma \,{\sqrt {-1}}\,m_{i}\,\mathrm {A} \,\zeta ,$

de sorte que l’équation (2) s’écrit

${\sqrt {-1}}\,\Sigma \,\mathrm {A} \left(m_{1}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}+m_{2}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}+\ldots +m_{n}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{n}}}\right)\zeta =0,$