236
CHAPITRE V.
donc divisible par une certaine puissance de
par exemple
par
Soit maintenant
le déterminant fonctionnel ou jacobien de
et de
on aura
![{\displaystyle \mathrm {J} =\mu \mathrm {J} '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cde996ee38a8905305ddcaf098a5d653ba7133f4)
de sorte que
ne sera plus divisible que par ![{\displaystyle \mu ^{p-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b52ef640a1809b9ddf63453a719ede8250ae2dc9)
Ainsi, après
opérations au plus, on arrivera à un jacobien qui
ne s’annulera plus avec
et qui correspondra, par conséquent, à
une intégrale qui ne se réduira pas pour
à une fonction de
Par conséquent, s’il existe une intégrale
analytique et uniforme
et distincte de
mais telle que
soit fonction de
on en pourra toujours trouver une autre de même forme et qui ne se
réduira pas à une fonction de
pour
Nous avons donc toujours le droit de supposer que
n’est
pas fonction de
82.Je dis maintenant que
ne peut dépendre des
Si en effet
dépend des
ce sera une fonction périodique de
ces variables, de sorte que nous pourrons écrire
![{\displaystyle \Phi _{0}=\Sigma \mathrm {A} e^{{\sqrt {-1}}(m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+\ldots +m_{n}y_{n})}=\Sigma \mathrm {A} \zeta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5abc0306e06fce1abf8f2d6183e7a62c7ca660f9)
les
étant des entiers positifs ou négatifs, les
des fonctions
des
et la notation
représentant pour abréger l’exponentielle
imaginaire qui multiplie ![{\displaystyle \mathrm {A} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52b3a778414f6a1907d8bc1577228f859bedad03)
Cela posé, nous avons
![{\displaystyle [\mathrm {F} _{0},\,\Phi _{0}]=\sum {\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}{\frac {d\Phi _{0}}{dy_{i}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fb73a2d2d12f81fe45f1375db18a70d7407492a)
puisque
ne dépend pas des
et que les
sont nuls.
D’autre part,
![{\displaystyle {\frac {d\Phi _{0}}{dy_{i}}}=\Sigma \,{\sqrt {-1}}\,m_{i}\,\mathrm {A} \,\zeta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b52e8ebad61c4776c59bc4dc64fe484d7403d46e)
de sorte que l’équation (2) s’écrit
![{\displaystyle {\sqrt {-1}}\,\Sigma \,\mathrm {A} \left(m_{1}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}+m_{2}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}+\ldots +m_{n}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{n}}}\right)\zeta =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf156e0da2e2f2da841bfdfbc7ae39c867d64565)