237
NON-EXISTENCE DES INTÉGRALES UNIFORMES.
et, comme ce doit être une identité, on aura, pour tous les systèmes
de valeurs entières des ![{\displaystyle m_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e7342d61d2119394ba5d050b1b0717d11e32daf)
![{\displaystyle \mathrm {A} \Sigma \,m_{i}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95d7222710ab78d4b9ad9f79a71f9bda04e4e6dc)
de sorte qu’on doit avoir identiquement, ou bien
(4)
|
|
|
ou bien
(5)
|
|
|
De l’identité (5) on déduirait, par différentiation,
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{i=n}m_{i}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}\,dx_{k}}}=0\quad (k=1,\,2,\,\ldots ,\,n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d17f2519efdd2092348d72fd2dba995fdc423d8d)
Or cela ne peut avoir lieu que de deux manières :
Ou bien si
![{\displaystyle m_{1}=m_{2}=\ldots =m_{n}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3b6d6c0e4864dc8e7cb3d853fe88d539759ec74)
ou bien si le hessien de
est nul.
Or nous avons supposé au début que le hessien n’était pas nul.
Donc
doit être identiquement nul, sauf pour le terme où
tous les
sont nuls.
Cela revient à dire que
se réduit à un seul terme qui ne
dépend pas des
C.Q.F.D.
Examinons maintenant l’équation (3). Comme
et
ne
dépendent pas des
cette équation peut s’écrire
![{\displaystyle -\sum {\frac {d\Phi _{0}}{dx_{i}}}{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{i}}}+\sum {\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}{\frac {d\Phi _{1}}{dy_{i}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b513a2b49a669912df49c7f4725f267a76472452)
D’autre part,
et
sont périodiques par rapport aux
et,
par conséquent, développables suivant les exponentielles de la forme
![{\displaystyle e^{{\sqrt {-1}}(m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+\ldots +m_{n}y_{n})},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3357035b2216051a67f4e78c728eb7da64598501)
les
étant des entiers positifs ou négatifs.