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CHAPITRE V.

Je dirai qu’une classe est singulière lorsque tous les coefficients de cette classe s’annulent en devenant séculaires et qu’elle est ordinaire dans le cas contraire.

Je dis que le théorème sera encore vrai si l’on suppose que, dans tout domaine δ faisant partie de D on peut trouver une infinité de classes ordinaires.

Soit en effet un système quelconque de valeurs de $x_{1}$ et $x_{2},$ tel que l’on ait en ce point

$\lambda \,{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}+{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}=0.$

Supposons que $\lambda$ soit commensurable et que la classe qui correspond à cette valeur de $\lambda$ soit ordinaire ; le raisonnement du numéro précédent pourra alors s’appliquer à ce système de valeurs et on devra conclure que, pour ces valeurs de $x_{1}$ et de $x_{2},$ le jacobien de $\mathrm {F} _{0}$ et de $\Phi _{0}$ par rapport à $x_{1}$ et à $x_{2}$ s’annule.

Mais, par hypothèse, il existe, dans tout domaine δ si petit qu’il soit faisant partie de D, une infinité de pareils systèmes de valeurs de $x_{1}$ et de $x_{2}.$ Par conséquent notre jacobien doit s’annuler en tous les points de D ; ce qui montre que $\Phi _{0}$ est une fonction de $\mathrm {F} _{0}.$ On en conclurait, comme dans le numéro précédent, qu’il n’existe pas d’intégrale uniforme distincte de $\mathrm {F} .$

Il n’en serait plus de même si l’on pouvait trouver un domaine D dont toutes les classes soient singulières.

On pourrait se demander alors s’il ne peut pas exister une intégrale qui reste uniforme non pas pour toutes les valeurs des $x,$ mais quand ces variables ne sortent pas du domaine D. On verrait, en général, qu’il n’en serait pas ainsi ; il suffirait, pour s’en assurer, d’envisager dans l’équation

$[\mathrm {F} ,\,\Phi ]=0.$

non plus seulement le terme indépendant de $\mu ,$ et le terme en $\mu ,$ mais le terme en $\mu ^{2}$ et les termes suivants.

Je n’insiste pas, cela n’a pas d’intérêt, car je ne crois pas que, dans aucun problème de Dynamique, se posant naturellement, il arrive que toutes les classes d’un domaine D soient singulières sans que tous les coefficients $\mathrm {B}$ s’annulent en devenant séculaires.

Passons maintenant au cas où il y a plus de 2 degrés de liberté.