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NON-EXISTENCE DES INTÉGRALES UNIFORMES.
Les résultats seront analogues, bien que l’énoncé en soit plus compliqué.
Soient
![{\displaystyle p_{1},\quad p_{2},\quad \ldots ,\quad p_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/014076e8398389a063bdccb29107c2fafa321849)
nombres entiers quelconques. Considérons tous les systèmes
d’indices
qui satisfont à la condition
![{\displaystyle m_{1}p_{1}+m_{2}p_{2}+\ldots +m_{n}p_{n}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6f7a81ba79380104f03d3af9b6e4af855696838)
Je dirai que tous les coefficients correspondants appartiennent à
une même famille.
Soient
classes définies par les systèmes d’indices suivants
![{\displaystyle {\begin{array}{cccc}m_{1,1}&m_{2,1}&\ldots ,&m_{n,1}\\m_{1,2}&m_{2,2}&\ldots ,&m_{n,2}\\\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,&\ldots .\\m_{1,q}&m_{2,q}&\ldots ,&m_{n,q}\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d0c11c5297ee4c5b4871b7cc0c719f99c38e0cf)
Si l’on ne peut trouver
entiers,
![{\displaystyle a_{1},\quad a_{2},\quad \ldots ,\quad a_{q},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18e4221d3d71879fce8809d8447668e80c45980d)
tels que l’on ait
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{i=q}a_{i}m_{k,i}=0\quad \quad (k=1,\,2,\,\ldots ,\,n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da447009f42a40d9f28025110f121015b879d144)
je dirai que ces
classes sont indépendantes.
Je dirai qu’une famille est ordinaire si l’on y peut trouver
classes indépendantes et ordinaires, et qu’elle est singulière dans
le cas contraire. Elle sera singulière du premier ordre si l’on peut
y trouver
classes indépendantes, ordinaires et singulières du
ième ordre, si l’on peut y trouver
classes indépendantes
et ordinaires et qu’on n’en puisse trouver davantage.
Je dirai qu’une famille définie par les entiers
appartient à un domaine D s’il existe dans ce domaine des valeurs
des
telles que
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} _{0}}{p_{1}\,dx_{1}}}={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{p_{2}\,dx_{2}}}=\ldots ={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{p_{n}\,dx_{n}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b4429cde601da862506214e61c8f6de416d87d9)
Cela posé, je dis que, si l’on peut trouver dans tout domaine δ