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CHAPITRE V.
faisant partie de D une infinité de familles ordinaires, il ne pourra
exister aucune intégrale uniforme distincte de
Le raisonnement du numéro précédent est en effet applicable
à tout système de valeurs des qui correspond à une famille
ordinaire.
Les jacobiens de et de par rapport à deux quelconques
des variables devraient donc s’annuler une infinité de fois dans
tout domaine δ faisant partie de D, ce qui ne peut arriver que s’ils
sont identiquement nuls.
Je dis maintenant que, si l’on peut trouver dans tout domaine δ
faisant partie de D une infinité de classes singulières du ième ordre,
le nombre des intégrales uniformes distinctes que peuvent comporter
les équations (1) est au plus égal à (en y comprenant
l’intégrale ).
Supposons en effet qu’il y ait intégrales distinctes ; soient
ces intégrales et supposons que pour elles se réduisent à
(11)
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Soit un système de valeurs des correspondant à une famille
irrégulière du ième ordre. Posons
Il existera dans cette famille classes ordinaires. Soient
les systèmes d’indices correspondant à ces classes.
On aura pour les valeurs des x considérées
On en déduira que les jacobiens des fonctions (11) par
rapport à quelconques des doivent s’annuler pour les
valeurs considérées des