Et comme cela doit avoir lieu une infinité de fois dans chaque domaine δ, on en conclura que ces jacobiens s’annulent identiquement et par conséquent que nos intégrales ne peuvent pas être distinctes.
Ces considérations ne présentent pas d’ailleurs d’intérêt pratique et je ne les ai présentées ici que pour être complet et rigoureux. On peut évidemment construire artificiellement des problèmes où ces diverses circonstances se rencontreront ; mais, dans les problèmes de Dynamique qui se posent naturellement, il arrivera toujours, ou bien que toutes les classes seront singulières, ou bien qu’elles seront toutes ordinaires, à l’exception d’un nombre fini d’entre elles.
Cas où le hessien est nul.
84.Passons maintenant au cas où ne dépend pas de toutes les variables
Je supposerai que dépend de et seulement et que son hessien par rapport à ces deux variables n’est pas nul.
Pour bien marquer la différence entre ces deux variables et et leurs conjuguées et d’une part, et les autres variables et d’autre part, je conviendrai de désigner
On observera d’abord que les conclusions du no 81 subsistent et que, s’il existe une intégrale uniforme distincte de il est toujours permis de supposer que n’est pas fonction de
Cela posé, nous devons d’abord avoir
![{\displaystyle [\mathrm {F} _{0},\,\Phi _{0}]={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}\,{\frac {d\Phi _{0}}{dy_{1}}}+{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}\,{\frac {d\Phi _{0}}{dy_{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e13d7544540c9d75cbbb5dcc3f892c8e1370e7e6)
Posons
