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NON-EXISTENCE DES INTÉGRALES UNIFORMES.

Il viendra

(13)

$\quad -\mathrm {B} \left(m_{1}{\frac {d\Phi _{0}}{dx_{1}}}+m_{2}{\frac {d\Phi _{0}}{dx_{2}}}\right)+\sum \left({\frac {d\mathrm {B} }{dz_{i}}}{\frac {d\Phi _{0}}{du_{i}}}-{\frac {d\mathrm {B} }{du_{i}}}{\frac {d\Phi _{0}}{dz_{i}}}\right)=0.$

Nous considérons comme appartenant à une même classe deux coefficients $\mathrm {F} _{m_{1},m_{2}}$ $\mathrm {F} _{m'_{1},m'_{2}}$ tels que

$m_{1}m'_{1}-m_{2}m'_{2}=0.$

et je dirai, pour abréger, que le coefficient $\mathrm {B} _{m_{1},m_{2}}$ appartient à la classe ${\tfrac {m_{1}}{m_{2}}}\cdot$ Il suit de cette définition que le coefficient $\mathrm {B} _{0,0}$ appartient à la fois à toutes les classes.

D’après ce qui précède, si l’on donne aux $x$ des valeurs qui satisfont à la relation (12), la relation (13) devra avoir lieu pour les coefficients $\mathrm {B}$ de la classe ${\frac {m_{1}}{m_{2}}}\cdot$

Soient alors $p$ et $q$ deux entiers premiers entre eux, tels que

${\frac {m_{1}}{m_{2}}}={\frac {p}{q}}\cdot$

Posons

$\zeta e^{{\sqrt {-1}}(py_{1}+qy_{2})}$

et

${\begin{aligned}\mathrm {D} _{\lambda }&=\mathrm {B} _{\lambda p,\lambda q}\zeta ^{\lambda },&-\zeta \mathrm {H} &=p{\frac {d\Phi _{0}}{dx_{1}}}+q{\frac {d\Phi _{0}}{dx_{2}}}\cdot \end{aligned}}$

Si l’on donne aux $x$ des valeurs telles que

(12 bis)

$p{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}+q{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}=0,$

on devra avoir

(13 bis)

$\mathrm {H} {\frac {d\mathrm {D} _{\lambda }}{d\zeta }}+\sum \left({\frac {d\mathrm {D} _{\lambda }}{dz_{i}}}{\frac {d\Phi _{0}}{du_{i}}}-{\frac {d\mathrm {D} _{\lambda }}{du_{i}}}{\frac {d\Phi _{0}}{dz_{i}}}\right)=0,$

et cela pour toutes les valeurs entières de $\lambda ,$ positives, négatives ou nulles.

Cela ne peut avoir lieu que de deux manières :

1^o Ou bien si l’on a

${\begin{aligned}\mathrm {H} &=0,&{\frac {d\Phi _{0}}{dz_{i}}}&=0,&{\frac {d\Phi _{0}}{du_{i}}}&=0&(i=1,\,2,\,\ldots ,\,n-2),\end{aligned}}$