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CHAPITRE V.

nous pouvons écrire

$\Phi _{0}=\Sigma \,\mathrm {A} \,\zeta$

les $\mathrm {A}$ étant des coefficients dépendant de $x_{1},$ $x_{2},$ des $z$ et des $u.$

Il vient alors

${\sqrt {-1}}\,\Sigma \,\mathrm {A} \,\zeta \left(m_{1}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}+m_{2}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}\right)=0.$

Cette relation doit être une identité, et, d’autre part, le hessien de $\mathrm {F} _{0}$ n’étant pas nul, on ne peut avoir identiquement

$m_{1}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}+m_{2}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}=0,$

à moins que $m_{1}$ et $m_{2}$ ne soient nuls tous deux.

On en conclurait, comme au n^o 82, que $\Phi _{0}$ ne dépend ni de $y_{1},$ ni de $y_{2}.$

Écrivons ensuite l’équation (3), nous aurons

${\begin{aligned}&-{\frac {d\Phi _{0}}{dx_{1}}}{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{1}}}-{\frac {d\Phi _{0}}{dx_{1}}}{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{1}}}+{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}{\frac {d\Phi _{1}}{dy_{1}}}\\&+{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}{\frac {d\Phi _{1}}{dy_{2}}}+\sum \left({\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dz_{i}}}{\frac {d\Phi _{0}}{du_{i}}}-{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{du_{i}}}{\frac {d\Phi _{0}}{dz_{i}}}\right)=0.\\\end{aligned}}$

Posons encore

$\mathrm {F} _{1}=\Sigma \,\mathrm {B} \,\zeta ,\qquad \Phi _{1}=\Sigma \,\mathrm {C} \,\zeta .$

Quand il sera nécessaire de mettre les indices en évidence, j’écrirai

$\mathrm {F} _{1}=\Sigma \,\mathrm {B} _{m_{1}\,m_{2}}e^{{\sqrt {-1}}\left(m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}\right)}.$

Il viendra

$-\Sigma \mathrm {B} \zeta \left({\textstyle \sum }m_{i}{\frac {d\Phi _{0}}{dx_{i}}}\right)+\Sigma \mathrm {C} \zeta \left({\textstyle \sum }m_{i}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}\right)+\Sigma \zeta \sum \left({\frac {d\mathrm {B} }{dz_{i}}}{\frac {d\Phi _{0}}{du_{i}}}-{\frac {d\mathrm {B} }{du_{i}}}{\frac {d\Phi _{0}}{dz_{i}}}\right)=0.$

Cette relation doit être une identité : nous pouvons donc égaler à 0 le coefficient d’une quelconque des exponentielles $\zeta .$ Nous donnerons de plus aux $x$ des valeurs telles que

(12)

$m_{1}\,{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}+m_{2}\,{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}=0,$

de façon à faire disparaître les termes qui dépendent de $\mathrm {C} .$