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CHAPITRE V.
d’où
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}{\frac {d\Phi _{0}}{dx_{2}}}-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}{\frac {d\Phi _{0}}{dx_{1}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2a6d8dd305fe5cd5e5303319256e2c8b3118ad6)
On en déduirait par un raisonnement tout semblable à celui du
no 82 que
est fonction de
ce qui est contraire
à l’hypothèse faite au début.
2o Ou bien, si le jacobien de
quelconques des fonctions
par rapport aux
variables
et
est nul.
On en conclurait que, si l’on donne à
et à
des valeurs constantes
satisfaisant à la condition (12 bis), il en résulte une relation
entre
quelconques des fonctions
de telle sorte que
toutes ces fonctions peuvent s’exprimer à l’aide de
d’entre elles.
On peut énoncer encore ce résultat d’une autre manière :
Considérons les expressions suivantes
(14)
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Si l’on suppose que l’on donne à
et
des valeurs constantes
satisfaisant à l’équation (12 bis), ces expressions (14) dépendent
de
variables seulement, à savoir des
et des ![{\displaystyle u_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23f89c186305a7404fa27735b8db0514aa6d3447)
S’il existe une intégrale uniforme, toutes ces expressions sont des
fonctions de
d’entre elles ; ou, en d’autres termes, on peut
trouver une relation entre
quelconques d’entre elles.
Quelle est la condition pour qu’il existe trois intégrales uniformes distinctes
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} &=\mathrm {const.} ,&\Phi &=\mathrm {const.} ,&\psi &=\mathrm {const.} \,?\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d3470eacb1ee559a3090cdbf3a0b4ddd5bb575d)
Soient
et
ce que deviennent ces trois intégrales pour
On démontrerait, comme plus haut, que l’on peut toujours
supposer qu’il n’y a aucune relation entre
et
On trouverait ensuite, en posant
![{\displaystyle -\mathrm {H} '\zeta =p\,{\frac {d\psi _{0}}{dx_{1}}}+q\,{\frac {d\psi _{0}}{dx_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a63d869d810f00a9afa1e9dcf057229f2289313)
que l’on a
(13 ter )
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