Ainsi l’équation (12 bis) entraîne, comme conséquence nécessaire, non seulement l’équation (13 bis), mais l’équation (13 ter). Par un raisonnement tout pareil à celui qui précède, on verrait que cela ne peut arriver que de deux manières :
Ou bien s’il y a une relation entre et ce qui est contraire à l’hypothèse que nous venons de faire ;
Ou bien si le jacobien de quelconques des fonctions est nul ainsi que tous ses mineurs du premier ordre.
Il en résulterait que, si et satisfont à la condition (12 bis), il y a entre quelconques des non pas une, mais deux relations.
En d’autres termes, les expressions (14) peuvent se calculer à l’aide de d’entre elles.
Les expressions (14) qui dépendent des coefficients du développement de la fonction sont des données de la question et on pourra toujours vérifier s’il y a entre de ces expressions une ou deux relations.
Généralement, on constatera qu’il n’y en a pas une seule et on en conclura qu’il n’existe pas d’intégrale analytique et uniforme autre que
Qu’arriverait-il cependant s’il n’en était pas ainsi ? Pour pouvoir énoncer le résultat d’une manière complète et rigoureuse, je vais me servir d’une terminologie analogue à celle du numéro précédent. Je dirai qu’une classe est ordinaire s’il n’y a pas de relation entre des expressions (14) formées avec les coefficients de cette classe, qu’elle est singulière du premier ordre s’il y en a une, singulière du second ordre s’il y en a deux, etc. Plus généralement, une classe sera singulière d’ordre s’il y a relations entre quelconques des quantités
Soit δ un domaine quelconque comprenant une infinité de systèmes de valeurs de des et des
Si l’on peut trouver dans le domaine δ des valeurs de et satisfaisant à la condition (12 bis), je dirai que la classe appartient à ce domaine. J’ai dit des valeurs de et de et non des valeurs de des et des parce que le premier membre de (12 bis) ne dépend que de et de
Je pourrai alors énoncer le résultat suivant :
