Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 1, 1892.djvu/262

250

CHAPITRE V.

Je désignerai par D un domaine comprenant une infinité de systèmes de valeurs de $x_{1},$ $x_{2}$, des $z$ et des $u.$

Si, dans tout domaine δ faisant partie de D, on peut trouver une infinité de classes ordinaires, on pourra être certain qu’il n’existe pas en dehors de $\mathrm {F}$ d’autre intégrale qui soit analytique et uniforme par rapport aux $x,$ aux $y,$ aux $z$ et aux $u,$ et de plus périodique par rapport à $y_{1}$ et à $y_{2}$ et qui reste telle pour toutes les valeurs réelles de $y_{1}$ et de $y_{2},$ pour les valeurs suffisamment petites de $\mu ,$ et pour les valeurs de $x_{1},$ $x_{2}$ des $z$ et des $u$ qui appartiennent au domaine D.

Si, dans tout domaine δ faisant partie de D, on peut trouver une infinité de classes singulières du $q$^ième ordre, il ne pourra pas exister plus de $q+1$ intégrales uniformes distinctes, en y comprenant $\mathrm {F} .$

Application au problème des trois Corps.

85.Je vais m’occuper maintenant d’appliquer les notions qui précèdent aux divers cas du problème des trois Corps.

Commençons par le cas particulier défini au n^o 9. Dans ce cas, nous avons 2 degrés de liberté seulement et quatre variables

${\begin{aligned}x_{1}&=\mathrm {L} ,&x_{2}&=\mathrm {G} ,\\y_{1}&=l,&y_{2}&=g-l\end{aligned}}$

(cf. n^o 9) ; on a d’ailleurs

$\mathrm {F} _{0}={\frac {1}{2x_{1}^{2}}}+x_{2}.$

Le hessien de $\mathrm {F} _{0}$ est nul, mais on peut, par l’artifice du n^o 43, ramener le problème au cas où ce hessien n’est pas nul.

Si donc il existait une intégrale uniforme, il faudrait que, dans le développement de $\mathrm {F} _{1}$ (qui est la fonction perturbatrice des astronomes), suivant les sinus et les cosinus des multiples de $y_{1}$ et $y_{2},$ tous les coefficients s’annulent au moment où ils deviennent séculaires.

L’examen du développement bien connu de la fonction perturbatrice montre qu’il n’en est pas ainsi.