Passons enfin au cas le plus général du problème des trois Corps, et posons le problème comme au no 11, c’est-à-dire avec 6 degrés de liberté et avec les douze variables :
Les expressions (14), après qu’on a donné à et à des valeurs constantes convenables choisies comme plus haut, dépendent encore des huit variables
Pour qu’il y eût intégrales uniformes distinctes de il faudrait qu’il y eût une relation entre quelconques des expressions (14).
Il est aisé de vérifier que ces expressions dépendent seulement de cinq variables, à savoir de
et de l’angle des plans des deux orbites osculatrices.
Il y a donc une relation entre quelconques des expressions (14).
Rien ne s’oppose donc à l’existence de trois intégrales nouvelles et elles existent effectivement : ce sont les intégrales des aires. Mais il n’y a pas de relation entre quelconques des expressions (14).
Donc, le problème des trois Corps n’admet pas d’autre intégrale uniforme que celles des forces vives et des aires.
Je me suis borné, pour ne pas interrompre le raisonnement, à affirmer qu’il n’existe pas de relations entre les expressions (14) ; je reviendrai plus loin sur cette question.
On sait que M. Bruns a démontré (Acta mathematica, t. II) que le problème des trois Corps n’admet pas de nouvelle intégrale algébrique, en dehors des intégrales déjà connues.
Le théorème qui précède est plus général en un sens que celui de M. Bruns, puisque je démontre non seulement qu’il n’existe pas d’intégrale algébrique, mais qu’il n’existe même pas d’intégrale transcendante uniforme, et non seulement qu’une intégrale ne peut pas être uniforme pour toutes les valeurs des variables, mais qu’elle ne peut même pas demeurer uniforme dans un domaine restreint défini plus haut.
