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CHAPITRE V.

Nous devons donc conclure que, en dehors de l’intégrale des forces vives, le problème n’admet pas d’intégrale uniforme de la forme suivante

$\Phi (\mathrm {L} ,\,\mathrm {L} ',\,\mathrm {H} ,\,l,\,l',\,h)=\mathrm {const.}$

périodique en $l$ et $l'.$

Mais cela ne nous suffit pas, il nous faut encore démontrer que le problème n’admet pas d’intégrale de la forme suivante

$\Phi (\mathrm {L} ,\,\mathrm {L} ',\,\Pi ,\,\Pi ',\,l,\,l',\,\varpi ,\,\varpi ')=\mathrm {const.} ,$

où la fonction $\Phi$ dépend d’une manière quelconque de $\varpi$ et de $\varpi '$ au lieu de dépendre seulement de la différence $\varpi -\varpi '.$

Pour cela il faut prendre le problème avec 4 degrés de liberté, ainsi que nous l’avons fait au n^o 16.

Nous aurons alors huit variables conjuguées

${\begin{array}{cccc}\beta \mathrm {L} ,&\beta '\mathrm {L} ',&\beta \Pi ,&\beta '\Pi ',\\l,&l',&\varpi ,&\varpi '.\end{array}}$

Les coefficients $\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}$ et les expressions (14) dépendent alors de $\mathrm {L} ,$ $\mathrm {L} ',$ $\Pi ,$ $\Pi ',$ $\varpi$ et $\varpi '.$ Quand on aura donné à $\mathrm {L}$ et à $\mathrm {L} '$ des valeurs constantes telles que le rapport des moyens mouvements soit égal à $-{\frac {q}{p}},$ les expressions (14) ne dépendront plus que des quatre variables $\Pi ,$ $\Pi ',$ $\varpi$ et $\varpi '.$

Pour qu’il y ait une intégrale uniforme autre que celle des forces vives, il faut que l’on ait une relation entre quatre quelconques ($2n-4=4,$ $n=4$) des expressions (14) ; c’est ce qui arrive puisque toutes ces expressions sont fonctions seulement des trois variables $\Pi ,$ $\Pi '$ et $\varpi -\varpi '.$

Rien ne s’oppose donc à ce qu’il existe une intégrale autre que celle des forces vives, et il en existe une en effet, à savoir l’intégrale des aires.

Pour qu’il y eût deux intégrales, il faudrait qu’il y eût une relation entre trois quelconques de ces expressions ; c’est-à-dire que toutes ces expressions dépendissent seulement de deux d’entre elles. Il n’en est pas ainsi.

Donc, en dehors de l’intégrale des forces vives et de celle des aires, le problème n’admet pas d’autre intégrale uniforme.