Lorsqu’on donnera à et à des valeurs constantes satisfaisant à la condition (12 bis), les ne dépendront plus que de de sorte qu’il y aura une relation entre deux quelconques d’entre eux.
Les ne dépendront que de et de en posant, comme dans les numéros précédents,
Il y aura donc une relation entre quelconques des Toute classe sera donc singulière du premier ordre.
Rien ne s’oppose donc à l’existence d’une intégrale uniforme distincte de celle des forces vives et nous savons, en effet, qu’il en existe une, à savoir celle des aires.
Mais la question est de savoir s’il peut en exister une troisième.
À cet effet, cherchons quelles sont les classes qui sont singulières du deuxième ordre. Il faut pour cela et il suffit qu’il y ait entre trois quelconques des deux relations et, par conséquent, que tous les soient fonctions d’un seul d’entre eux. Nous serons ainsi conduits à distinguer plusieurs sortes de classes :
1o La classe qui contient tous les coefficients Celle-ci est singulière du deuxième ordre. On a en effet
ne dépendant que de et de et devant, par conséquent, être regardé comme une constante, puisqu’on a supposé qu’on donnait à et à des valeurs constantes. On a alors
Pour que les soient fonctions d’un seul d’entre eux, il faut que tous les s’annulent, à l’exception d’un seul d’entre eux, ou que la fonction se réduise à une exponentielle
Mais, pour satisfaire à la condition (12 bis), il faut donner à la valeur 0 ; quel est donc le mouvement à la Poinsot pour lequel ? Un peu d’attention montre que c’est celui qui correspond à la rotation uniforme autour de l’un des axes d’inertie. Dans un pareil mouvement, la fonction est une constante indépendante
