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CHAPITRE V.
de
Cela prouve que tous les
sont nuls pour ces valeurs particulières de
et de
à l’exception de
La classe est donc singulière du deuxième ordre.
2o Les classes de la forme
qui ne contiennent que trois coefficients
![{\displaystyle \mathrm {B} _{m,1},\quad \mathrm {B} _{0,0},\quad \mathrm {B} _{-m,-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/277fe495cb93fb3266a22c0d5ee30a4749326ca9)
Ces classes ne peuvent être singulières du deuxième ordre que si
![{\displaystyle \mathrm {B} _{m,1}=\mathrm {B} _{-m,-1}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/206a38709f17a9407af2e4788adb995617f0b375)
ou, ce qui revient au même, si dans le développement de
et de
suivant les puissances positives et négatives de
il
n’y a pas de terme en
(en supposant
et
réels).
Cela n’arrivera pas, en général, quand l’ellipsoïde d’inertie ne
sera pas de révolution ; mais, si cet ellipsoïde est de révolution, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi &=\mathrm {A} \cos l+\mathrm {B} \sin l+\mathrm {C} ,&\eta &=\mathrm {A} '\cos l+\mathrm {B} '\sin l+\mathrm {C} ',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46fea02fe5fa69397dd1f6b6ff4d94f026037b61)
étant des constantes.
Il en résulte que l’on aura
![{\displaystyle \mathrm {B} _{m,1}=-\mathrm {B} _{-m,-1}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f6190205467df9a8bed7ab044470be2194c2ea0)
à moins que
ou ![{\displaystyle -1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c1ae9e73ea72a95921a7fbeba221311687f1367)
Toutes les classes
seront alors singulières du deuxième ordre,
à l’exception des classes
et
3o Toutes les autres classes se réduisant au seul coefficient
seront singulières du deuxième ordre.
En résumé, si l’ellipsoïde est de révolution, toutes les classes
sont singulières du deuxième ordre, à l’exception des classes
et
Rien ne s’oppose donc à ce qu’il existe une troisième intégrale
uniforme et même à ce qu’elle soit algébrique, pourvu que le jacobien
des trois intégrales s’annule quand on fait
ou
(Cette dernière condition n’est pas nécessaire dans le cas de
Lagrange, c’est-à-dire si le point de suspension est sur l’axe de
révolution, parce qu’alors
et
se réduisent à des constantes.)
Si, au contraire, l’ellipsoïde n’est pas de révolution, il y a une