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CHAPITRE I.

cédé du n^o 4. Il est cependant des cas où il est plus simple d’opérer autrement. Nous en allons donner deux exemples.

Supposons que l’on ait les équations canoniques

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\end{aligned}}$

et que l’on fasse le changement de variables suivant

(2)

$\left\{{\begin{alignedat}{4}x_{i}&=\alpha _{1,i}x'_{1}&{}+{}&\alpha _{2,i}x'_{2}&{}+{}&\dots +\alpha _{n,i}x'_{n}\,,\\y_{i}&=\beta _{1,i}y'_{1}&{}+{}&\beta _{2,i}y'_{2}&{}+{}&\dots +\beta _{n,i}y'_{n}\,.\\\end{alignedat}}\right.$

Comment doit-on choisir les constantes α et β pour que les équations restent canoniques quand on prend comme variables nouvelles les $x'_{i}$ et les $y'_{i}$.

Si nous désignons par

$\delta x_{1},\;\delta x_{2},\;\dots ,\;\delta x_{n}\,;\;\delta y_{1},\;\delta y_{2},\;\dots ,\;\delta y_{n}$

des accroissements virtuels des $x$ et des $y$, que nous multipliions les équations (1) respectivement par $\delta y_{i}$ et $-\delta x_{i},$ et que nous ajoutions, il viendra

$\sum \left({\frac {dx_{i}}{dt}}\delta y_{i}-{\frac {dy_{i}}{dt}}\delta x_{i}\right)=\delta \mathrm {F} .$

Pour que les équations restent canoniques après la substitution (2), il faut donc et il suffit que l’on ait identiquement

(3)

$\sum \left({\frac {dx_{i}}{dt}}\delta y_{i}-{\frac {dy_{i}}{dt}}\delta x_{i}\right)=\sum \left({\frac {dx'_{i}}{dt}}\delta y'_{i}-{\frac {dy'_{i}}{dt}}\delta x'_{i}\right).$

Comme les $dx_{i}$ dépendent seulement des $dx'_{i}$ les $\delta y_{i}$ des $\delta y'_{i}$, les $dy_{i}$ des $dy'_{i}$, les $\delta x_{i}$ des $\delta x'_{i}$, on devra avoir identiquement

(4)

${\begin{aligned}\sum dx_{i}\,\delta y_{i}&=\sum dx'_{i}\,\delta y'_{i}\,,&\sum dy_{i}\,\delta x_{i}&=\sum dy'_{i}\,\delta x'_{i}\,.\end{aligned}}$

Les relations (2) étant linéaires, les $dx_{i}$ sont liés aux $dx'_{i}$, et les $\delta x_{i}$ aux $\delta x'_{i}$ par les mêmes relations qui lient les $x_{i}$ aux $x'_{i}$. De même pour les $dy_{i},$ $\delta y_{i},$ $y_{i},$ $dy'_{i},$ $\delta y'_{i},$ $y'_{i}$.

Les relations (4) subsisteront donc quand on y remplacera $dx_{i}$ et $\delta x_{i}$ par $x_{i},$ et $dy_{i}$ et $\delta y_{i}$ par $y_{i}$, $dx'_{i}$ et $\delta x'_{i}$ par $x'_{i}$, etc. On devra donc avoir

(5)

$\sum x_{i}y_{i}=\sum x'_{i}y'_{i}$