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NON-EXISTENCE DES INTÉGRALES UNIFORMES.

infinité de classes qui ne sont pas singulières du deuxième ordre, à savoir des classes ${\tfrac {m}{1}}\,;$ mais envisageons un domaine D comprenant une infinité de systèmes de valeurs de $n,$ $n',$ $\varphi$ et $\theta$ et supposons que, pour aucun de ces systèmes, $n'$ ne soit multiple de $n\,;$ aucune des classes ${\tfrac {m}{1}}$ n’appartiendra à ce domaine. Rien ne s’oppose donc encore à ce qu’il existe une troisième intégrale uniforme, pourvu que le jacobien des trois intégrales s’annule dès que $n'$ est multiple de $n\,;$ d’où il résulte que cette troisième intégrale ne peut, en général, être algébrique.

Les conditions énoncées dans ce Chapitre étant nécessaires, mais non suffisantes, rien ne prouve que cette troisième intégrale existe ; il convient, avant de se prononcer, d’attendre la publication complète des résultats de M^me de Kowalevski^[1].

Intégrales non holomorphes en $\mu .$

87.Jusqu’ici nous avons supposé que notre intégrale uniforme $\Phi$ était développable suivant les puissances entières de $\mu .$ Il est facile d’étendre le résultat au cas où l’on renoncerait à cette hypothèse.

Supposons, par exemple, que $\Phi$ soit développable suivant les puissances entières de ${\sqrt {\mu }}\,;$ nous pourrons écrire

$\Phi =\Phi '+{\sqrt {\mu }}\,\Phi '',$

$\Phi '$ et $\Phi ''$ étant développables suivant les puissances entières de $\mu .$

Si $\Phi$ est une intégrale, on devra avoir identiquement

$[\mathrm {F} ,\,\Phi ]=[\mathrm {F} ,\,\Phi ']+{\sqrt {\mu }}\,[\mathrm {F} ,\,\Phi '']=0.$

Comme $[\mathrm {F} ,\,\Phi ']$ et $[\mathrm {F} ,\,\Phi '']$ sont développables suivant les puissances entières de $\mu ,$ on devra avoir séparément

$[\mathrm {F} ,\,\Phi ']=[\mathrm {F} ,\,\Phi '']=0.$

1. Depuis que ces lignes ont été écrites, le monde savant a eu à déplorer la mort prématurée de M^me de Kowalevski. Les notes qu’on a retrouvées chez elle sont malheureusement insuffisantes pour permettre de reconstituer ses démonstrations et ses calculs.