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CHAPITRE V.
Donc et doivent être toutes deux des intégrales.
Si donc on a démontré qu’il ne peut pas exister d’intégrale
uniforme développable suivant les puissances entières de on
aura démontré qu’il ne peut pas exister non plus d’intégrale uniforme
développable suivant les puissances entières de
Plus généralement, soient
(1)
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fonctions quelconques de
Supposons que soit de la forme
(2)
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les étant des fonctions des et des indépendantes de
Nous pouvons toujours supposer qu’il n’y a pas entre les
fonctions (1) de relations de la forme
(3)
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étant développables suivant les puissances de
S’il en était ainsi en effet, l’une des fonctions
ne contiendra pas en facteur ; car, si toutes ces fonctions contenaient
en facteur, le premier membre de (3) serait divisible
par et l’on effectuerait la division.
Supposons, par exemple, que ne s’annule pas avec on
pourra résoudre l’équation (3) par rapport à et on aura
seront développables suivant les puissances
de et si l’on remplace par cette valeur dans l’expression (2), on aura
réduit d’une unité le nombre des fonctions (1).
Supposons donc que ces fonctions ne soient pas liées par une relation de la forme (3).
Nous pourrons écrire