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CHAPITRE V.
Donc
et
doivent être toutes deux des intégrales.
Si donc on a démontré qu’il ne peut pas exister d’intégrale
uniforme développable suivant les puissances entières de
on
aura démontré qu’il ne peut pas exister non plus d’intégrale uniforme
développable suivant les puissances entières de
Plus généralement, soient
(1)
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fonctions quelconques de ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
Supposons que
soit de la forme
(2)
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les
étant des fonctions des
et des
indépendantes de
![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
Nous pouvons toujours supposer qu’il n’y a pas entre les
fonctions (1) de relations de la forme
(3)
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étant développables suivant les puissances de
S’il en était ainsi en effet, l’une des fonctions
ne contiendra pas
en facteur ; car, si toutes ces fonctions contenaient
en facteur, le premier membre de (3) serait divisible
par
et l’on effectuerait la division.
Supposons, par exemple, que
ne s’annule pas avec
on
pourra résoudre l’équation (3) par rapport à
et on aura
![{\displaystyle \theta _{1}=-{\frac {\varphi _{2}}{\varphi _{1}}}\theta _{2}-{\frac {\varphi _{3}}{\varphi _{1}}}\theta _{3}-\ldots -{\frac {\varphi _{p}}{\varphi _{1}}}\theta _{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed6531c59950a717670d473e3d9668e765a09eaa)
seront développables suivant les puissances
de
et si l’on remplace
par cette valeur dans l’expression (2), on aura
réduit d’une unité le nombre des fonctions (1).
Supposons donc que ces fonctions ne soient pas liées par une relation de la forme (3).
Nous pourrons écrire
![{\displaystyle \Phi =\Phi _{1}\theta _{1}+\Phi _{2}\theta _{2}+\ldots +\Phi _{p}\theta _{p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bec03dab5e4f93c27c695ba199c4c424ef63f8fe)