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NON-EXISTENCE DES INTÉGRALES UNIFORMES.

$\Phi _{1},\,\Phi _{2},\,\ldots ,\,\Phi _{p},$ étant développables suivant les puissances de $\mu .$ Si $\Phi$ est une intégrale, on aura

(4)

[\mathrm {F} ,\,\Phi ]=\theta _{1}[\mathrm {F} ,\,\Phi _{1}]+\theta _{2}[\mathrm {F} ,\,\Phi _{2}]+\ldots +\theta _{p}[\mathrm {F} ,\,\Phi _{p}]=0.

Je dis qu’on aura séparément

(5)

[\mathrm {F} ,\,\Phi _{1}]=[\mathrm {F} ,\,\Phi _{2}]=\ldots =[\mathrm {F} ,\,\Phi _{p}]=0.

Car, s’il n’en était pas ainsi, comme les quantités $[\mathrm {F} ,\,\Phi _{i}]$ $(i=1,\,2,\,\ldots ,\,p)$ sont développables suivant les puissances de $\mu ,$ la relation (4) serait de la forme (3), ce qui est contraire à l’hypothèse que nous venons de faire.

Donc les relations (5) ont lieu.

Donc $\Phi _{1},\,\Phi _{2},\,\ldots ,\,\Phi _{p}$ sont des intégrales.

Si donc on a démontré qu’il ne peut pas y avoir d’intégrale uniforme développable suivant les puissances de $\mu ,$ on aura démontré qu’il n’y a pas non plus d’intégrale uniforme de la forme (2).

J’ajouterai que le raisonnement s’applique quand les fonctions (1) sont en nombre infini.

Discussion des expressions (14).

88.Je reviens sur le sujet que j’avais réservé plus haut, à savoir sur la démonstration de ce fait qu’il n’existe pas de relation entre $2n-4$ quelconques des expressions (14) dans le cas du problème des trois Corps.