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NON-EXISTENCE DES INTÉGRALES UNIFORMES.

Nous devons donc conclure que, dans ce cas particulier du problème des trois Corps, il n’y a pas d’intégrale uniforme distincte de $\mathrm {F} .$

Dans mon Mémoire des Acta mathematica (t. XIII), je me suis servi pour établir le même point de l’existence des solutions périodiques et du fait que les exposants caractéristiques ne sont pas nuls. La démonstration que je donne ici ne diffère de celle des Acta que par la forme, mais elle se prête mieux à la généralisation qui va suivre.

Considérons maintenant un cas un peu plus général du problème des trois Corps, celui où le mouvement se passe dans un plan, el supposons qu’on ait réduit le nombre des degrés de liberté à 3, ainsi qu’on l’a dit au n^o 15.

Nous avons alors six variables conjuguées, à savoir

${\begin{alignedat}{3}\beta \mathrm {L} ,&\quad &\beta \mathrm {L} ,&\quad &\beta \Pi &=\mathrm {H} ,\\l,&&l',&&h&=\varpi -\varpi '.\end{alignedat}}$

Supposons que l’on développe la fonction perturbatrice $\mathrm {F,}$ de la manière suivante

$\mathrm {F} _{1}={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}e^{{\sqrt {-1}}(m_{1}l+m_{2}l')},$

les coefficients $\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}$ seront fonctions de $\beta \mathrm {L} ,$ $\beta '\mathrm {L} ',$ $\mathrm {H}$ et $h.$

Soient $p$ et $q$ deux entiers quelconques premiers entre eux ; formons les expressions

(14)

$\mathrm {B} _{\lambda p,\lambda q}^{\lambda '}\mathrm {B} _{\lambda 'p,\lambda 'q}^{-\lambda }\quad (\lambda ,\lambda '=0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\ldots ,\,{\text{ad inf.}}).$

Donnons à $\mathrm {L}$ et à $\mathrm {L} '$ des valeurs satisfaisant à la condition (12 bis), c’est-à-dire telles que le rapport des moyens mouvements soit égal a $-{\frac {q}{p}}\cdot$

Pour que le problème admît une intégrale uniforme autre que l’intégrale des forces vives, il faudrait qu’il y eût une relation entre deux quelconques d’entre elles ($n=3,$ $2n-4=2$), c’est-à-dire que toutes ces expressions (14) fussent des fonctions de $\mathrm {B} _{0,0},$ c’est-à-dire de la partie séculaire de la fonction perturbatrice. Or l’examen du développement bien connu de cette fonction montre qu’il n’en est pas ainsi.