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NON-EXISTENCE DES INTÉGRALES UNIFORMES.

de nature à convaincre les plus sceptiques, elles ne constituent pas cependant une démonstration mathématique rigoureuse.

89.Une dernière remarque peut faciliter dans une certaine mesure la vérification.

Reprenons la relation (13) du n^o 84 qui s’écrit

$-\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}\left(m_{1}{\frac {d\Phi _{0}}{dx_{1}}}+m_{2}{\frac {d\Phi _{0}}{dx_{2}}}\right)+\sum \left({\frac {d\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}}{dz_{i}}}{\frac {d\Phi _{0}}{du_{i}}}-{\frac {d\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}}{du_{i}}}{\frac {d\Phi _{0}}{dz_{i}}}\right)=0.$

En faisant dans cette relation $m_{1}=\lambda p,\,m_{2}=\lambda q,$ j’obtiendrai une relation particulière que j’appellerai (13 bis) ; en y faisant $m_{1}=\lambda 'p,$ $m_{2}=\lambda 'q,$ j’obtiendrai une autre relation particulière que j’appellerai (13 ter).

Soit ensuite

$\mathrm {M} _{\lambda ,\lambda '}=\mathrm {B} _{\lambda p,\lambda q}^{\lambda '}\mathrm {B} _{\lambda 'p,\lambda 'q}^{-\lambda }\,;$

$\mathrm {M} _{\lambda ,\lambda '}$ sera l’une des expressions (14) qui ont joué un si grand rôle dans les numéros précédents.

Multiplions (13 bis) et (13 ter) respectivement par

${\frac {\lambda '}{\mathrm {B} _{\lambda p,\lambda q}}}\quad \mathrm {et} \quad {\frac {-\lambda }{\mathrm {B} _{\lambda 'p,\lambda 'q}}}$

et ajoutons ; il viendra

$\sum \left({\frac {d\log \mathrm {M} _{\lambda ,\lambda '}}{dz_{i}}}{\frac {d\Phi _{0}}{du_{i}}}-{\frac {d\log \mathrm {M} _{\lambda ,\lambda '}}{du_{i}}}{\frac {d\Phi _{0}}{dz_{i}}}\right)=0,$

ou, en adoptant la notation des crochets de Jacobi,

$[\log \mathrm {M} _{\lambda ,\lambda '},\,\Phi _{0}]=0,$

ou bien

$[\mathrm {M} _{\lambda ,\lambda '},\,\Phi _{0}]=0,$

Si donc $\mathrm {M}$ et $\mathrm {M'}$ sont deux expressions (14) appartenant à la même classe, on devra avoir

$[\mathrm {M} ,\,\Phi _{0}]=[\mathrm {M} ',\,\Phi _{0}]=0,$

ou, en vertu du théorème de Poisson,

$[\,[\mathrm {M} ,\,\mathrm {M} '],\,\Phi _{0}]=0,$