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GÉNÉRALITÉS ET MÉTHODE DE JACOBI.

La réciproque est vraie et la relation (5) entraîne les relations (3) et (4).

Ainsi la condition nécessaire et suffisante pour que les équations restent canoniques, c’est que l’on ait identiquement

$\textstyle \sum x_{i}y_{i}=\sum x'_{i}y'_{i}$

Quelle est maintenant la condition pour que ces équations restent canoniques et qu’en même temps on ait

$\alpha _{k,i}=\beta _{k,i}\;?$

Je dirai qu’un changement linéaire de variables, tel que (2), est orthogonal, si l’on a identiquement

$\textstyle \sum x_{i}^{2}=\sum x_{i}'^{2}\,,$

c’est-à-dire si l’on a

${\begin{aligned}\sum \limits _{i=1}^{i=n}\alpha _{ki}^{2}&=1\;,&\sum \limits _{i=1}^{i=n}\alpha _{ki}\alpha _{hi}&=0.\end{aligned}}$

Cette dénomination se justifie d’elle-même, puisque, dans le cas où le nombre des variables est 2 ou 3, et où l’on peut regarder les $x$ ou les $x'$ comme les coordonnées d’un point dans le plan ou dans l’espace, une pareille substitution n’est autre chose qu’un changement rectangulaire de coordonnées.

Cela posé, si l’on fait subir aux $x$ et aux $y$ une même substitution orthogonale, on aura

${\begin{array}{c}\sum x_{i}^{2}=\sum x_{i}'^{2},\qquad \sum y_{i}^{2}=\sum y_{i}'^{2},\\\sum (x_{i}+y_{i})^{2}=\sum (x'_{i}+y'_{i})^{2},\end{array}}$

d’où

$\textstyle \sum x_{i}y_{i}=\sum x'_{i}y'_{i}$

Les équations resteront donc canoniques.

6.Les équations resteront encore canoniques si l’on fait un changement de variables portant seulement sur $x_{i}$ et sur $y_{i}$, par exemple, et si l’on pose

${\begin{aligned}x_{1}&=\varphi (x'_{1},y'_{1}),&y_{1}&=\psi (x'_{1},y'_{1})\end{aligned}}$