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CHAPITRE I.

et que l’on prenne pour variables nouvelles $x'_{1}$ et $y'_{1}$, au lieu de $x_{1}$ et de $y_{1}$ ; ces équations resteront canoniques, dis-je, pourvu que le déterminant fonctionnel, ou jacobien, de $x_{1}$ et $y_{1}$ par rapport à $x'_{1}$ et $y'_{1}$ soit égal à 1.

Ainsi, si l’on pose

${\begin{aligned}x_{1}&={\sqrt {2\rho }}\cos \omega \,,&y_{1}&={\sqrt {2\rho }}\sin \omega \,,\end{aligned}}$

la forme canonique des équations ne sera pas altérée et les variables $\rho$ et $\omega$ seront conjuguées comme l’étaient $x_{1}$ et $y_{1}$.

7.Nous avons défini plus haut le changement de variables

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}}&=x_{i}\,,&{\frac {d\mathrm {S} }{dh_{i}}}&=h'_{i}\,,\end{aligned}}$

qui n’altère pas la forme canonique des équations, quand $\mathrm {S}$ est une fonction quelconque des $y_{i}$ et des $h_{i}$.

Cette forme n’est pas altérée non plus si l’on permute les $x_{i}$ avec les $y_{i}$ et si l’on change en même temps $\mathrm {F}$ en $-\mathrm {F}$.

Si donc $\mathrm {S}$ est une fonction quelconque de

$x_{1},\;x_{2},\;\dots ,\;x_{p};\quad h_{1},\;h_{2},\;\dots ,\;h_{p}$

et si l’on pose

${\begin{aligned}y_{i}={\frac {d\mathrm {S} }{dx_{i}}}\,,\qquad h'_{i}={\frac {d\mathrm {S} }{dh_{i}}},\end{aligned}}$

la forme canonique des équations ne sera pas altérée quand on prendra pour variables nouvelles les $h_{i}$ et les $h'_{i}$, et qu’on changera en même temps $\mathrm {F}$ en $-\mathrm {F}$.

Elle ne sera pas altérée non plus si l’on change `

$y_{1},\;y_{2},\;\dots ,\;y_{n}\quad \mathrm {et} \quad \mathrm {F}$

en

$\lambda y_{1},\;\lambda y_{2},\;\dots ,\;\lambda y_{n}\quad \mathrm {et} \quad \lambda \mathrm {F} \,,$

$\lambda$ étant une constante quelconque.

Considérons donc encore une fonction $\mathrm {S}$ des $x_{i}$ et des $h_{i}$, et posons

${\begin{aligned}\lambda y_{i}={\frac {d\mathrm {S} }{dx_{i}}}\,,\qquad h'_{i}={\frac {d\mathrm {S} }{dh_{i}}}\,,\end{aligned}}$