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DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.

et dans le voisinage du point $\beta$

$\varphi (x)=\mathrm {B} _{1}\left(1-{\frac {x}{\beta }}\right)^{\delta _{1}}+\mathrm {B} _{2}\left(1-{\frac {x}{\beta }}\right)^{\delta _{2}}+\ldots +\mathrm {B} _{k}\left(1-{\frac {x}{\beta }}\right)^{\delta _{k}}+\psi _{1}(x)$

$\psi (x)$ et $\psi _{1}(x)$ restant finis ainsi que leurs $p$ premières dérivées. Il viendra alors, pour $n=\infty ,$

$\lim n^{p+1}r^{n}\left[a_{n}-\sum \mathrm {A} _{i}{\frac {n^{1-\gamma _{i}}}{\alpha ^{\gamma _{i}}}}{\frac {1}{\Gamma (-\gamma _{i})}}-\sum \mathrm {B} _{i}{\frac {n^{1-\delta _{i}}}{\alpha ^{\delta _{i}}}}{\frac {1}{\Gamma (-\delta _{i})}}\right]=0,$

d’où l’on déduit la valeur approximative de $a_{n}.$

5^o Si l’on a

$\varphi (x)=\log(1-x),$

on aura

$a_{n}=-{\frac {1}{n}}\,;$

si

$\varphi (x)=\log(1-x)(1-x)^{k},$

nous aurons approximativement

$a_{n}={\frac {-n^{1-k}\log {n}}{\Gamma (-k)}}\cdot$

Cette dernière formule n’est applicable que si $k$ n’est pas entier positif ; dans ce cas, on aurait

$a_{n}={\frac {(-1)^{k+1}\,k!}{n(n-1)-(n-k)}}\cdot$

6^o Soit

$\varphi (x)={\textstyle \sum }a_{n}x^{n}+{\textstyle \sum }a_{-n}x^{-n}\,;$

une série contenant des puissances positives et négatives est convergente pourvu que

$|x|<\mathrm {R} \quad |x|>r$

Soient $\alpha$ et $\beta ,$ deux points singuliers de la fonction $\varphi (x)$ situés sur la circonférence $|x|=\mathrm {R} \,;$ soient $\gamma$ et $\delta$ deux points singuliers de $\varphi (x)$ sur la circonférence $|x|=r.$ Supposons que $\varphi (x)$ n’ait pas d’autre point singulier sur ces deux circonférences.

Soient

$\psi (x)={\textstyle \sum }b_{n}x^{n},\quad \psi _{1}(x)={\textstyle \sum }c_{n}x^{n}$