280
CHAPITRE VI.
deux séries convergentes pour
![{\displaystyle |x|<\mathrm {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85a74c41b8ed68c3cb1b724b1f91a74db62d5b3)
Soient
![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{2}(x)&={\textstyle \sum }b_{-n}x^{-n},&\psi _{3}(x)&={\textstyle \sum }c_{-n}x^{-n}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0284fcebdae1bfb1ba41f5ba1cb71c95b1c2a5d2)
deux séries convergentes pour
![{\displaystyle |x|>{r}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6340fd2eeb9ec23037ffefd40e34435957c11605)
Si les différences
sont finies ainsi
que leurs
premières dérivées, la première dans le voisinage du
point
la seconde dans le domaine du point
la
troisième dans celui du point
la quatrième quand
est voisin
de
on aura
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}\lim n^{p+1}\mathrm {R} ^{n}(a_{n}-b_{n}-c_{n})&=0\\\lim n^{p+1}{r}^{n}(a_{-n}-b_{-n}-c_{-n})&=0\\\end{aligned}}\right\}\;(\mathrm {pour} \;n=\infty ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/556bd53c2817206995afe8298a072664dd3a0abe)
Les valeurs approximatives des coefficients
dépendent donc
uniquement des singularités que présente la fonction
sur les
circonférences qui limitent la convergence.
Extension aux fonctions de plusieurs variables.
94.Appliquons ces principes au cas qui nous occupe.
Il s’agit de développer une certaine fonction
des deux anomalies
moyennes
et
sous la forme suivante
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}^{0}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}e^{{\sqrt {-1}}(m_{1}l+m_{2}l')}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63da6be56b2ad808cd665b8129a968f629edaed4)
On a donc
![{\displaystyle 4\pi ^{2}\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }\mathrm {F} _{1}^{0}e^{-{\sqrt {-1}}(m_{1}l+m_{2}l')}\,dl\,dl'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e72a7fddc7583114664fab85c99d11b7c66d89a5)
Il s’agit de trouver une valeur approchée du coefficient
quand, le rapport
étant donné et fini, les deux nombres
et
sont très grands ou plus généralement quand on a
![{\displaystyle m_{1}=an+b,\quad m_{2}=cn+d,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a7331f43870a61556ee25afbe4ff9027c2c0325)