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GÉNÉRALITÉS ET MÉTHODE DE JACOBI.
la forme canonique ne sera pas altérée, si l’on prend pour variables
nouvelles les
et les
et qu’on change en même temps
en ![{\displaystyle -\lambda \mathrm {F} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdda534a72f75894659017ca2a27bb69d0ec6688)
Mouvement képlérien.
8.Appliquons les principes qui précèdent au mouvement képlérien.
Dans tout ce qui va suivre, nous supposerons toujours que les
unités aient été choisies de telle sorte que l’attraction des deux
unités de masse à l’unité de distance soit égale à l’unité de force ou,
en d’autres termes, que la constante de Gauss soit égale à 1.
Considérons donc le mouvement d’une masse mobile sous l’action
d’une masse fixe située à l’origine des coordonnées et égale
à
Soient
les coordonnées de la masse mobile, et
les composantes de la vitesse ; si nous posons
![{\displaystyle \mathrm {F} ={\frac {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}}{2}}-{\frac {2\mathrm {M} }{\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/284a03a7bdf62bee41019efbf3d6b00947ae705e)
les équations du mouvement s’écrivent
(1)
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D’après le no 3, l’intégration de ces équations est ramenée à celle
de l’équation aux dérivées partielles
(2)
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où
est une constante arbitraire. Posons
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=r\sin \omega \cos \varphi ,&x_{2}&=r\sin \omega \sin \varphi ,&x_{3}&=r\cos \omega \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2219578e843887c72dd2474f411ce3c4cb0b1548)
l’équation deviendra
![{\displaystyle \left({\frac {d\mathrm {S} }{dr}}\right)^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {d\mathrm {S} }{d\omega }}\right)^{2}+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\omega }}\left({\frac {d\mathrm {S} }{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {2\mathrm {M} }{r}}+2h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd1c566d8f0b2dbfe88d6663f708737ce030d1d7)
On peut satisfaire à cette équation en introduisant deux con-