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DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.

Les valeurs de $x$ qui correspondent aux points singuliers nous seront données par les cinq équations (1), (7), (8), (9) et (10). Observons que les équations (1), (9) et (10) sont réciproques et que les équations (7) et (8) se changent l’une dans l’autre quand on change $x$ en ${\frac {1}{x}}\cdot$ Si $x$ est un point singulier, il en sera donc de même de ${\frac {1}{x}}\cdot$ C’est ce qu’il était aisé de prévoir.

Si l’on fait $\varphi =0,$ nos équations se réduisent à $x=0\,;$ donc, quand $\varphi$ tend vers 0, les racines des équations (1), (7) et (8) tendent vers 0 ou vers l’infini.

Si l’on pose

$\mathrm {tang} {\frac {\varphi }{2}}=\tau ,$

les équations (3), (4), (5), (6), (7) et (8) deviennent

(3)

$y={\frac {(x-\tau )^{2}}{\beta (1+\tau ^{2})x}},$

(4)

$y={\frac {\beta (1+\tau ^{2})x}{(1-x\tau )^{2}}},$

(5)

${\frac {c(x+\tau )}{1-\tau x}}+a\beta y=0,$

(6)

${\frac {c(1+x\tau )}{x-\tau }}+{\frac {a\beta }{y}}=0,$

(7)

${\frac {c(x+\tau )}{1-\tau x}}+{\frac {a(x-\tau )^{2}}{(1+\tau ^{2})x}}=0,$

(8)

${\frac {c(1+\tau x)}{x-\tau }}+{\frac {a(1-\tau x)^{2}}{(1+\tau ^{2})x}}=0.$

L’équation (1) nous donne d’autre part comme solution

$x=\tau ,\quad x={\frac {1}{\tau }}\cdot$

Lorsque $\varphi$ et $\tau$ sont très petits, nous avons vu que les valeurs de $x$ sont très petites, ou très grandes, et, comme les équations ne changent pas quand on change $x$ en ${\frac {1}{x}},$ nous devons conclure qu’il y en a précisément autant de très petites que de très grandes.