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DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.

Voici comment varie $|z|$ :

1^o Quand on suit la courbe (3)

En O′................	$|z|=0$		En Q ................	$|z|=0$
De O′ en C′ ..........	croît		De Q en F ............	croît
En C′................	max.		En F ................	max.
De C′ en D ...........	décroît		De F en A ............	décroît
En D ................	min.		En A ................	$|z|=0$
De D en P ...........	croît		De A en O′...........	croît
En P ................	$|z|=\infty$		En O′................	$|z|=\infty$

2^o Quand on suit la courbe (4)

En P′................	$|z|=0$		En O ................	$|z|=0$
De P′ en D′ ..........	croît		De O en L ou en A′ ....	croît
En D′................	max.		En A′................	$|z|=\infty$
De D′ en C ..........	décroît		De A′ en F′ ..........	décroît
En C ................	min.		En F′ ................	$|z|=0$
De C en O′ ..........	croît		De F′ en Q′ ..........	croît
En O ................	$|z|=\infty$		En Q′ ................	$|z|=\infty$

On en conclut que le $z$ du point B est plus grand que celui du point C, et celui du point E que celui du point R.

De même, le $z$ du point D est plus petit que celui du point B, et le $z$ de R est plus petit que celui de F.

Nous avons vu que, la fonction $\mathrm {F} (z,\,t)$ n’étant pas uniforme, il fallait tracer les contours d’intégration sur la surface de Riemann correspondante dont le nombre des feuillets est infini. Pour éviter la considération de cette surface de Riemann, on peut changer de variables. Observons, en effet, que le carré de $\mathrm {F} _{1}^{0}$ est fonction uniforme de $x$ et de $y$ et, par conséquent, que le carré de $\mathrm {F} (z,\,t)$ est fonction uniforme de $x^{\frac {1}{c}}$ et de $z^{\frac {1}{c}}.$

Si donc nous convenons de donner à $z^{\frac {1}{c}}$ une valeur déterminée et que nous considérions momentanément comme constante, à un point du plan des $x^{\frac {1}{c}}$ correspondront seulement deux valeurs de $\mathrm {F} (z,\,t)$ égales et de signe contraire. Nous pourrons alors avec avantage tracer nos contours d’intégration sur le plan des $x^{\frac {1}{c}}.$

Donnons d’abord à $z^{\frac {1}{c}}$ une valeur initiale $\zeta _{0}$ dont le module soit