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CHAPITRE VI.

égal à 1. Nous sommes convenus, en définissant $\Phi (z),$ que le contour d’intégration le long duquel doit être prise l’intégrale

$\Phi (z)=\int \mathrm {F} (z,\,t)\,dt$

doit se réduire au cercle $|t|=1$ pour les valeurs de $z$ de module 1.

Pour $z^{\frac {1}{c}}=\zeta _{0},$ nous devrons donc prendre pour contour dans le plan des $t$ le cercle $|t|=1$ et dans le plan des $x^{\frac {1}{c}}$ le cercle $\left|x^{\frac {1}{c}}\right|=1.$

Voici donc la règle pour reconnaître si un point singulier de $\Phi (z)$ est admissible. Soit $\alpha _{i}$ la valeur de $x^{\frac {1}{c}}$ et $\zeta _{i}$ la valeur de $z^{\frac {1}{c}}$ qui correspondent à ce point singulier. Nous supposerons, par exemple, que le module de $\zeta _{i}$ est plus petit que 1 ; aussi bien savons-nous que, parmi les points singuliers de $\Phi (z),$ la moitié ont leur module plus petit que 1. Nous allons faire varier $z^{\frac {1}{c}}$ de la manière suivante : son argument devra rester constant et constamment égal à celui de $\zeta _{i}$ et son module ira en croissant de $|\zeta _{i}|$ à 1. En d’autres termes, le point $z^{\frac {1}{c}}=\zeta _{i}$ décrira un segment de droite $\Delta$ limité aux points $\zeta _{i}$ et ${\frac {\zeta _{i}}{|\zeta _{i}|}}\cdot$

Pour chacune des valeurs de $z^{\frac {1}{c}},$ $\mathrm {F} (z,\,t),$ considérée comme fonction de $x^{\frac {1}{c}},$ présente un certain nombre de points singuliers ; pour $z^{\frac {1}{c}}=\zeta _{i},$ deux de ces points singuliers se confondent en un seul et avec $\alpha _{i}.$ Quand $z^{\frac {1}{c}}$ décrit la droite $\Delta ,$ ces deux points singuliers varient d’une manière continue et parfaitement définie. Quand $z^{\frac {1}{c}}$ atteint la valeur finale ${\frac {\zeta _{i}}{|\zeta _{i}|}},$ il peut arriver ou bien que les positions finales de ces deux points singuliers sont toutes deux intérieures, ou toutes deux extérieures au cercle $\left|x^{\frac {1}{c}}\right|=1,$ et alors le point considéré est inadmissible, ou bien que ces positions finales sont l’une extérieure et l’autre intérieure à ce cercle et alors le point considéré est admissible.

La fonction $\mathrm {F} (z,\,t)$ est multipliée par une racine $c$^ième de l’unité quand $x^{\frac {1}{c}}$ est multiplié par une racine $c$^ième de l’unité. Supposons