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CHAPITRE VI.
qui est de même forme que
![{\displaystyle \int {\frac {\theta \,dt}{\sqrt {(t-h)^{2}+k}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0133781421fb2eacae2d0e9f0024330fb3eca78)
Le coefficient
que nous venons de calculer est celui qui
entre dans le développement de la partie principale
de la
fonction perturbatrice. Nous avons posé en effet
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}^{0}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}e^{{\sqrt {-1}}(m_{1}l+m_{2}l')}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c2cdb154092dd613f46c40d268bda0d03d544d3)
Il conviendrait maintenant de tenir compte de la partie complémentaire
de la fonction perturbatrice. Posons donc
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}e^{{\sqrt {-1}}(m_{1}l+m_{2}l')},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c1cb7b6aec2fbc995b2ff4cdf8d24e394081b45)
puis
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} '(z,\,t)&=\mathrm {F} _{1}t^{ad-bc-1}z^{-{\frac {d}{c}}},\\2i\pi \Phi '(z)&=\int \mathrm {F} '(z,\,t)\,dt.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdded2fc494645aed4bbc9d9749337df11a18e18)
Si l’on suppose
sera le
coefficient de
dans
de même que
était
le coefficient de
dans ![{\displaystyle \Phi (z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ed20f2d2f908d67ce1e923966556f6f7cf37aa6)
La fonction
n’a d’autres points singuliers que
ceux des droites
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\tau ,&x&={\frac {1}{\tau }},&y&=\tau ',&y&={\frac {1}{\tau '}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/419c00648a0e5c0039beb3709158189f3636bc63)
La fonction
n’aura donc que 4 points singuliers, à savoir
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\tau \quad \mathrm {ou} \quad {\frac {1}{\tau }},&y&=\tau '\quad \mathrm {ou} \quad {\frac {1}{\tau '}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/237122df41b287939895b75d0332f521d5320a26)
Il en résulte que, si le point singulier qui convient à la question
n’est pas un de ces quatre points, c’est-à-dire dans les deux premières
hypothèses du no 99 (ce qui est le cas le plus ordinaire),
la différence
sera négligeable par rapport à
et la valeur approchée de
sera la même que celle de ![{\displaystyle \mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f22d82ddf57f468f158063df8ce5d9cfd530df0b)
Si, au contraire, le point singulier
qui convient à la question