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CHAPITRE VI.
et
étant des entiers,
et
premiers entre eux
et de signe contraire. Donnons aux deux grands axes des valeurs déterminées
choisies de telle sorte que le rapport des moyens mouvements soit
égal à
Les coefficients
ne dépendront plus que de
cinq variables. Posons, comme dans le Chapitre précédent,
![{\displaystyle \mathrm {D} _{n}=\mathrm {B} _{an,cn}\zeta ^{q},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/980e13b7e79029c9fa155fd91a4fbe9694bc44c1)
dépendra de six variables qui sont les deux excentricités, les
longitudes de périhélies, l’inclinaison et ![{\displaystyle \zeta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8843b83e5b60116bafbba232629752394ad08e56)
Eh bien, s’il existait une intégrale uniforme, il y aurait une
relation entre six quelconques des quantités
et les diverses quantités
![{\displaystyle \mathrm {D} _{-n},\quad \ldots ,\quad \mathrm {D} _{-1},\quad \mathrm {D} _{0},\quad \mathrm {D} _{1},\quad \mathrm {D} _{2},\quad \ldots ,\quad \mathrm {D} _{n},\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82f52442793ac8c960e5c6dfb731bb11123f66ec)
pourraient s 'exprimer en fonctions de cinq variables seulement et non de six.
Or, nous avons
![{\displaystyle \Phi '(z)={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{an,cn}z^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe950ccd18af1a4ac30aa79ebfe7a974df88f9e7)
et, par conséquent,
![{\displaystyle \Phi '(z\zeta )={\textstyle \sum }\,\mathrm {D} _{n}z^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e48402d3d632a6d2defbb805630af43eadf23394)
S’il y avait donc une intégrale uniforme, les coefficients du développement
de
ne dépendraient que de cinq paramètres.
En appliquant les règles des numéros précédents, on trouverait
que l’on a approximativement pour
très grand
![{\displaystyle \mathrm {D} _{n}=\left({\frac {\zeta }{z_{0}}}\right)^{n}\left({\frac {\mathrm {E} _{1}}{n}}+{\frac {\mathrm {E} _{2}}{n^{2}}}+{\frac {\mathrm {E} _{3}}{n^{3}}}+\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f6e77144538030bda7c8d62a185d47e2a6b15c6)
On verrait alors sans peine que, si les
s’expriment à l’aide de
cinq variables seulement, il doit en être de même de
![{\displaystyle {\frac {\zeta }{z_{0}}},\quad \mathrm {E} _{1},\quad \mathrm {E} _{2},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c591321f3fa1d70d382b140bded6b03814aa2fa)
et, par conséquent, que les
dépendent seulement de quatre
variables. On reconnaîtrait ensuite qu’il n’en est pas ainsi.