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CHAPITRE VI.

$a,$ $c$ et $n$ étant des entiers, $a$ et $c$ premiers entre eux et de signe contraire. Donnons aux deux grands axes des valeurs déterminées choisies de telle sorte que le rapport des moyens mouvements soit égal à $-{\frac {c}{a}}\cdot$ Les coefficients $\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}$ ne dépendront plus que de cinq variables. Posons, comme dans le Chapitre précédent,

$\mathrm {D} _{n}=\mathrm {B} _{an,cn}\zeta ^{q},$

$\mathrm {D} _{n}$ dépendra de six variables qui sont les deux excentricités, les longitudes de périhélies, l’inclinaison et $\zeta .$

Eh bien, s’il existait une intégrale uniforme, il y aurait une relation entre six quelconques des quantités $\mathrm {D} _{n}$ et les diverses quantités

$\mathrm {D} _{-n},\quad \ldots ,\quad \mathrm {D} _{-1},\quad \mathrm {D} _{0},\quad \mathrm {D} _{1},\quad \mathrm {D} _{2},\quad \ldots ,\quad \mathrm {D} _{n},\quad \ldots$

pourraient s 'exprimer en fonctions de cinq variables seulement et non de six.

Or, nous avons

$\Phi '(z)={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{an,cn}z^{n}$

et, par conséquent,

$\Phi '(z\zeta )={\textstyle \sum }\,\mathrm {D} _{n}z^{n}$

S’il y avait donc une intégrale uniforme, les coefficients du développement de $\Phi '(z\zeta )$ ne dépendraient que de cinq paramètres.

En appliquant les règles des numéros précédents, on trouverait que l’on a approximativement pour $n$ très grand

$\mathrm {D} _{n}=\left({\frac {\zeta }{z_{0}}}\right)^{n}\left({\frac {\mathrm {E} _{1}}{n}}+{\frac {\mathrm {E} _{2}}{n^{2}}}+{\frac {\mathrm {E} _{3}}{n^{3}}}+\ldots \right).$

On verrait alors sans peine que, si les $\mathrm {D} _{n}$ s’expriment à l’aide de cinq variables seulement, il doit en être de même de

${\frac {\zeta }{z_{0}}},\quad \mathrm {E} _{1},\quad \mathrm {E} _{2},\ldots ,$

et, par conséquent, que les $\mathrm {E} _{i}$ dépendent seulement de quatre variables. On reconnaîtrait ensuite qu’il n’en est pas ainsi.