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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
où
et
ne dépendent que de
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}^{0},\quad x_{i}^{1},\quad &\ldots ,\quad x_{i}^{p-1},\\y_{i}^{0},\quad y_{i}^{1},\quad &\ldots ,\quad y_{i}^{p-2}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f39e6fdc03abf6ede23163618d08195c4285f34)
Convenons, comme nous l’avons fait plus haut, de représenter par
la valeur moyenne de
si
est une fonction périodique de ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Des équations (4), nous pourrons alors déduire les suivantes
(5)
|
|
|
Supposons maintenant qu’un calcul préalable nous ait fait connaître
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}^{0},\quad x_{i}^{1},\quad \ldots &,\quad x_{i}^{p-1},\quad x_{i}^{p}\;\;\;-\left[x_{i}^{p}\right],\\y_{i}^{0},\quad y_{i}^{1},\quad \ldots &,\quad y_{i}^{p-2},\quad y_{i}^{p-1}-\left[y_{i}^{p-1}\right].\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22c72f2adae51da43e1fca6f71999bf6806df251)
Les équations (5) vont nous permettre de calculer
et
et par conséquent
et
Les équations (4) nous permettront
ensuite de déterminer
![{\displaystyle x_{i}^{p+1}-\left[x_{i}^{p+1}\right]\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/031f26bc29dce9e978f1c3ba79452d452663190a)
et
![{\displaystyle \quad y_{i}^{p}-\left[y_{i}^{p}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e934f89b3ffb0f2cbf8a214ff71a7c9eec88632)
de sorte que ce procédé nous fournira par récurrence tous les
coefficients des développements de
et de ![{\displaystyle y_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a10abf596a91b652cab0eac357d5200fb3545cab)
La seule difficulté est la détermination de
et
par les équations (5).
Les fonctions
et
sont développées suivant les
puissances croissantes des
et nous allons calculer les divers termes
de ces développements en commençant par les termes du degré
le moins élevé.
Pour cela nous allons reprendre les notations du no 79, c’est-à-dire
que nous allons poser
![{\displaystyle -{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}^{0}\,dx_{k}^{0}}}=\mathrm {C} _{i\,k}^{0}\quad \mathrm {et} \quad \left[{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dy_{i}^{0}\,dy_{k}^{0}}}\right]=b_{i\,k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfffd2109242a9751ac6d3134c83696e69c095fd)
(pour les valeurs nulles des
).