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CHAPITRE IV.

qu’on peut s’en assurer sur des exemples ; nous reviendrons d’ailleurs en détail sur ce point au Chapitre suivant.

Donc les solutions périodiques du problème des trois Corps ont deux exposants caractéristiques nuls, mais elles n’en ont que deux.

Calcul complet des exposants caractéristiques.

79.Reprenons les équations (1) du n^o 74 en faisant $n=3$ pour fixer les idées :

(1)

{\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\quad (i=1,\,2,\,3).\end{aligned}}

Supposons qu’on ait trouvé une solution périodique de ces équations

x_{i}=\varphi _{i}(t),\quad y_{i}=\psi _{i}(t)

et proposons-nous de déterminer les exposants caractéristiques de cette solution.

Pour cela, nous poserons

x_{i}=\varphi _{i}(t)+\xi _{i},\quad y_{i}=\psi _{i}(t)+\eta _{i},

puis nous formerons les équations aux variations des équations (1), que nous écrirons

(2)

\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\xi _{i}}{dt}}&=\;\;\;\,\sideset {}{_{k}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dy_{i}\,dx_{k}}}\xi _{k}+\sideset {}{_{k}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dy_{i}\,dy_{k}}}\eta _{k}\\{\frac {d\eta _{i}}{dt}}&=-\sideset {}{_{k}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dx_{k}}}\xi _{k}-\sideset {}{_{k}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dy_{k}}}\eta _{k}\\\end{aligned}}\right\}(i,k=1,\,2,\,3),

et nous chercherons à intégrer ces équations en faisant

(3)

{\begin{aligned}\xi _{i}&=e^{\alpha t}\mathrm {S} _{i},&\eta _{i}&=e^{\alpha t}\mathrm {T} _{i},\end{aligned}}

$\mathrm {S} _{i}$ et $\mathrm {T} _{i}$ étant des fonctions périodiques de $t.$ Nous savons qu’il existe en général six solutions particulières de cette forme [les équations linéaires (2) étant du sixième ordre]. Mais il importe d’observer que, dans le cas particulier qui nous occupe, il n’y a plus que quatre solutions particulières qui conservent cette forme, parce que deux des exposants caractéristiques sont nuls, et qu’il y