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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

ristiques admet quatre racines, l’une égale à $+\alpha ,$ l’autre à $-\alpha$ et les deux autres à 0.

À la première racine, c’est-à-dire à la racine $+\alpha ,$ correspondra une solution des équations (2) du n^o 79, que nous avons appris à former dans ce numéro et que nous avons écrite ainsi

${\begin{aligned}\xi _{i}&=e^{\alpha t}\mathrm {S} _{i},&\eta _{i}&=e^{\alpha t}\mathrm {T} _{i}.\end{aligned}}$

Je rappelle que $\mathrm {S} _{i}^{0}$ est nul et, par conséquent, que $\mathrm {S} _{i}$ est divisible par $\alpha .$

À la seconde racine $-\alpha$ correspondra de même une autre solution des équations (2) et nous l’écrirons

${\begin{aligned}\xi _{i}&=e^{-\alpha t}\mathrm {S} _{i}',&\eta _{i}&=e^{-\alpha t}\mathrm {T} _{i}'.\end{aligned}}$

Enfin aux deux racines 0, correspondront (cf. n^o 80) deux solutions des équations (2) que nous écrirons

${\begin{aligned}\xi _{i}&=\mathrm {S} _{i}'',&\eta _{i}&=\mathrm {T} _{i}'',\\\xi _{i}&=\mathrm {S} _{i}'''+\alpha t\mathrm {S} _{i}'',&\eta _{i}&=\mathrm {T} _{i}'''+\alpha t\mathrm {T} _{i}''.\end{aligned}}$

$\mathrm {T} _{i}',\,\mathrm {T} _{i}'',\,\mathrm {T} _{i}''',\,\mathrm {S} _{i}',\,\mathrm {S} _{i}'',\,\mathrm {S} _{i}'''$ sont des fonctions périodiques de $t,$ comme $\mathrm {S} _{i}$ et $\mathrm {T} _{i}.$

D’après ce que nous avons vu aux n^os 79 et 80, $\mathrm {S} _{i}',$ $\mathrm {S} _{i}''$ et $\mathrm {S} _{i}'''=\alpha \mathrm {S} _{i}^{\star }$ seront comme $\mathrm {S} _{i}$ divisibles par $\alpha .$

Posons alors

(13 bis)

$\left\{{\begin{aligned}\alpha \zeta _{1}&=\mathrm {S} _{1}\theta _{1}\,+\mathrm {S} _{1}'\theta _{2}\,+\mathrm {S} _{1}''\theta _{3}\,+\mathrm {S} _{1}'''\theta _{4},\\\alpha \zeta _{2}&=\mathrm {S} _{2}\theta _{1}\,+\mathrm {S} _{2}'\theta _{2}\,+\mathrm {S} _{2}''\theta _{3}\,+\mathrm {S} _{2}'''\theta _{4},\\\eta _{1}&=\mathrm {T} _{1}\theta _{1}+\mathrm {T} _{1}'\theta _{2}+\mathrm {T} _{1}''\theta _{3}+\mathrm {T} _{1}'''\theta _{4},\\\eta _{2}&=\mathrm {T} _{2}\theta _{1}+\mathrm {T} _{2}'\theta _{2}+\mathrm {T} _{2}''\theta _{3}+\mathrm {T} _{2}'''\theta _{4}.\\\end{aligned}}\right.$

Les fonctions $\theta _{i}$ ainsi définies joueront un rôle analogue à celui des fonctions $\eta _{i}$ du n^o 105. Les équations (12) deviennent alors

(14)

$\;\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\theta _{1}}{dt}}+\alpha \,w{\frac {d\theta _{1}}{dw}}-\alpha \theta _{1}&=\alpha \Theta _{1},&{\frac {d\theta _{2}}{dt}}+\alpha \,w{\frac {d\theta _{2}}{dw}}&+\alpha \theta _{2}=\alpha \Theta _{2},\\{\frac {d\theta _{3}}{dt}}+\alpha \,w{\frac {d\theta _{3}}{dw}}=\alpha \theta _{4}&+\alpha \Theta _{3},&{\frac {d\theta _{4}}{dt}}+\alpha \,w{\frac {d\theta _{4}}{dw}}&=\alpha \Theta _{4}.\end{aligned}}\right.$

$\Theta _{1},\,\Theta _{2},\,\Theta _{3},\,\Theta _{4},$ sont des fonctions développées suivant les puissances de $\theta _{1},$ $\theta _{2},$ $\theta _{3},$ $\theta _{4}$ et $\alpha ,$ dont tous les termes sont du deuxième