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GÉNÉRALITÉS ET MÉTHODE DE JACOBI.

Si nous posons

$\mathrm {F} ={\tfrac {1}{2}}(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2})+\mathrm {V} ,$

les équations du mouvement du point prendront la forme canonique

${\frac {dx_{i}}{dt}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},\qquad {\frac {dy_{i}}{dt}}=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}$.

Nous avons défini au n^o 8 une certaine fonction

$\mathrm {S} (x_{1},x_{2},x_{3},\mathrm {G} ,\Theta ,\mathrm {L} ).$

Nous avons vu que, si l’on fait le changement de variables défini par les équations

${\frac {d\mathrm {S} }{dx_{i}}}=y_{i}\;,\qquad {\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {G} }}=g\;,\qquad {\frac {d\mathrm {S} }{d\Theta }}=\theta \;,\qquad {\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {L} }}=l\;,$

les variables nouvelles ne sont autre chose que les variables képlériennes que nous venons de définir.

En vertu du théorème du n^o 7, les équations conserveront la forme canonique et s’écriront

${\begin{array}{lclcl}{\dfrac {d\mathrm {L} }{dt}}=-{\dfrac {d\mathrm {F} }{dl}}\,,&\;&{\dfrac {d\mathrm {G} }{dt}}=-{\dfrac {d\mathrm {F} }{dg}}\,,&\;&{\dfrac {d\Theta }{dt}}=-{\dfrac {d\mathrm {F} }{d\theta }}\,,\\{\dfrac {dl}{dt}}=\quad {\dfrac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {L} }}\,,&\;&{\dfrac {dg}{dt}}=\quad {\dfrac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {G} }}\,,&\;&{\dfrac {d\theta }{dt}}=\quad {\dfrac {d\mathrm {F} }{d\Theta }}\,\cdot \\\end{array}}$

Il peut arriver que, la force restant constamment dans le plan des $x_{1}x_{2}$, il en soit de même du point mobile.

Dans ce cas on aura constamment

$\mathrm {G} =\Theta ,$

et la fonction $\mathrm {F}$ dépendra seulement de $\mathrm {G} ,\,\mathrm {L} ,\,l$ et de la longitude du périhélie $g+\theta =\varpi$ ; on aura

${\frac {d\mathrm {F} }{dg}}={\frac {d\mathrm {F} }{d\theta }}={\frac {d\mathrm {F} }{d\varpi }}\cdot$

Nous poserons, pour conserver la symétrie,

$\mathrm {G} =\Theta =\Pi ,$