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CHAPITRE VII.

et alors nous trouverons les équations

(14 bis)

$\;{\frac {d\theta _{i}}{dt}}+{\textstyle \sum }\alpha _{k}w_{k}{\frac {d\theta _{i}}{dw_{k}}}-\alpha _{i}\theta _{i}={\sqrt {\mu }}\Theta _{i}\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,2n-2).$

${\begin{aligned}{\frac {d\theta _{2n-1}}{dt}}&+{\textstyle \sum }\alpha _{k}w_{k}{\frac {d\theta _{2n-1}}{dw_{k}}}-{\sqrt {\mu }}\theta _{2n}={\sqrt {\mu }}\Theta _{2n-1},\\{\frac {d\theta _{2n}}{dt}}&+{\textstyle \sum }\alpha _{k}w_{k}{\frac {d\theta _{2n}}{dw_{k}}}={\sqrt {\mu }}\Theta _{2n}.\end{aligned}}$

Les fonctions $\Theta _{k}$ sont définies par les $2n$ équations du premier degré

${\begin{aligned}\mathrm {X} _{i}'&=\sum _{k=1}^{k=2n}{\frac {\mathrm {S} _{ik}}{\sqrt {\mu }}}\Theta _{k},\\[1.5ex]{\sqrt {\mu }}\mathrm {Z} _{i}'&={\textstyle \sum }\,\mathrm {T} _{ik}\Theta _{k}.\end{aligned}}$

Le déterminant de ces $2n$ équations, c’est-à-dire le déterminant $\Delta$ formé avec les ${\frac {\mathrm {S} _{ik}}{\sqrt {\mu }}}$ et les $\mathrm {T} _{ik},$ ne s’annule pas pour $\mu =0.$ On le démontrerait comme dans le numéro précédent ; la seconde démonstration en particulier peut être appliquée sans changement au cas qui nous occupe.

Nous en conclurons que les fonctions $\Theta _{k}$ sont périodiques par rapport à $t,$ et développables suivant les puissances croissantes et positives des $\Theta _{i}$ et de ${\sqrt {\mu }}.$

Cela posé, il est facile de démontrer la proposition du n^o 108.

Supposons en effet que $p$ des exposants caractéristiques $\alpha _{1},$ $\alpha _{2},$ $\ldots ,$ $\alpha _{p}$ aient leur partie réelle positive et cherchons à satisfaire aux équations (14 bis) en remplaçant les $\theta _{i}$ par des séries développées suivant les puissances de $w_{1},$ $w_{2},$ $\ldots ,$ $w_{p}.$ Soit donc

$\theta _{i}={\textstyle \sum }[i,\,\beta _{1},\,\beta _{2},\,\ldots ,\,\beta _{p},\,\gamma ]\,e^{\gamma {\sqrt {-1}}}w_{1}^{\beta _{1}}w_{2}^{\beta _{2}}\ldots w_{p}^{\beta _{p}}.$

$\beta _{1},\,\beta _{2},\,\ldots ,\,\beta _{p}$ sont des entiers positifs, $\gamma$ un entier positif ou négatif et les coefficients $[i,\,\beta _{1},\,\beta _{2}\ldots \ldots ,\,\beta _{p},\,\gamma ],$ que j’écrirai aussi pour abréger $[i,\,\beta _{k},\,\gamma ],$ sont des constantes qu’il s’agit de déterminer.

Si nous substituons ces valeurs des $\theta _{i}$ dans les $\Theta _{i},$ il viendra

$\Theta _{i}={\textstyle \sum }(i,\,\beta _{1},\,\beta _{2},\,\ldots ,\,\beta _{p},\,\gamma )\,e^{\gamma {\sqrt {-1}}}w_{1}^{\beta _{1}}w_{2}^{\beta _{2}}\ldots w_{p}^{\beta _{p}},$