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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
les coefficients
ou
seront des constantes
qui dépendront, suivant une certaine loi, des coefficients
indéterminés
Je dis que les
et, par conséquent,
les
sont développables suivant les puissances croissantes
de
et que le développement ne contient pas de puissance négative.
En effet, les équations (14 bis) nous donnent
![{\displaystyle [i,\,\beta _{k},\,\gamma ]=(i,\,\beta _{k},\,\gamma ){\frac {\sqrt {\mu }}{\gamma {\sqrt {-1}}+{\textstyle \sum }\alpha _{k}\beta _{k}-\alpha _{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d8f0c1deff2bd3f6947ab289198ad78541b11cf)
pour
et
![{\displaystyle {\begin{aligned}[2n,\,\beta _{k},\,\gamma ]&=(2n,\,\beta _{k},\,\gamma ){\frac {\sqrt {\mu }}{\gamma {\sqrt {-1}}+{\textstyle \sum }\alpha _{k}\beta _{k}}}\\{}[2n-1,\,\beta _{k},\,\gamma ]&=\{(2n,\,\beta _{k},\,\gamma )+(2n-1,\,\beta _{k},\,\gamma )\}{\frac {\sqrt {\mu }}{\gamma {\sqrt {-1}}+{\textstyle \sum }\alpha _{k}\beta _{k}}}\cdot \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/babd0d0e01da0059bf190cfb93610bdd97d0c7d0)
Ces formules permettent de calculer par récurrence les coefficients
Si, en effet, nous convenons de dire que le coefficient
de même que
est de degré
![{\displaystyle \beta _{1}+\beta _{2}+\ldots +\beta _{p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac9a1d41f8f1de3dbee3af301c81bc6b16d8a99f)
il est aisé de voir que la quantité
ne dépend que des
coefficients
de degré moindre, qui peuvent être supposés
connus par un calcul préalable.
De même on peut démontrer par récurrence la proposition
énoncée. En effet, je dis qu’elle est vraie de
si elle est
vraie des coefficients de degré moindre ; car, s’il en est ainsi, elle
sera vraie de
qui dépend seulement de ces coefficients
de degré moindre. Il reste donc à démontrer que la fraction
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {\mu }}{\gamma {\sqrt {-1}}+{\textstyle \sum }\alpha _{k}\beta _{k}-\alpha _{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/516f2dd0d6d6298bfd7e4e272da9b095a487911a)
est développable suivant les puissances positives de
Or, cela
est évident ; car, si
n’est pas nul, le dénominateur n’est pas divisible
par
Si
est nul le dénominateur est divisible par
mais non par
mais il en est de même du numérateur.
La proposition du no 108 est donc ainsi démontrée de nouveau.