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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
les coefficients
ou seront des constantes
qui dépendront, suivant une certaine loi, des coefficients
indéterminés Je dis que les et, par conséquent,
les sont développables suivant les puissances croissantes
de et que le développement ne contient pas de puissance négative.
En effet, les équations (14 bis) nous donnent
pour et
Ces formules permettent de calculer par récurrence les coefficients
Si, en effet, nous convenons de dire que le coefficient
de même que est de degré
il est aisé de voir que la quantité ne dépend que des
coefficients de degré moindre, qui peuvent être supposés
connus par un calcul préalable.
De même on peut démontrer par récurrence la proposition
énoncée. En effet, je dis qu’elle est vraie de si elle est
vraie des coefficients de degré moindre ; car, s’il en est ainsi, elle
sera vraie de qui dépend seulement de ces coefficients
de degré moindre. Il reste donc à démontrer que la fraction
est développable suivant les puissances positives de Or, cela
est évident ; car, si n’est pas nul, le dénominateur n’est pas divisible
par Si est nul le dénominateur est divisible par
mais non par mais il en est de même du numérateur.
La proposition du no 108 est donc ainsi démontrée de nouveau.