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CHAPITRE VII.

Transformation des équations.

112.Revenons au cas où il n’y a que 2 degrés de liberté et reprenons les équations (14) du n^o 110.

Soit $\Phi$ une fonction qui, de même que $\Theta _{1},$ $\Theta _{2},$ $\Theta _{3}$ et $\Theta _{4},$ soit développée suivant les puissances de $\theta _{1},$ $\theta _{2},$ $\theta _{3},$ $\theta _{4},$ de $\alpha ,$ $e^{t{\sqrt {-1}}}$ et $e^{-t{\sqrt {-1}}}$ et qui soit telle que chacun de ses coefficients soit réel, positif et plus grand en valeur absolue que le coefficient du terme correspondant dans $\Theta _{1},$ $\Theta _{2},$ $\Theta _{3}$ et $\Theta _{4}\,;$ tous les termes de $\Phi$ seront d’ailleurs, comme ceux des $\Theta _{i},$ du second degré au moins par rapport aux $\theta .$

Observons que le nombre

${\frac {n{\sqrt {-1}}}{2}}+p$

(où $n$ est entier positif, négatif ou nul, et où $p$ est entier positif et au moins égal à 1) est toujours plus grand en valeur absolue que 1, quels que soient d’ailleurs n, p et $\alpha .$ Or les nombres qui joueront le rôle des diviseurs (5) du n^o 105 divisés par $\alpha$ sont précisément de cette forme.

Formons alors les équations

(15)

${\begin{aligned}\theta _{1}&=w+\Phi ,&\theta _{2}&=\Phi ,&\theta _{3}&=\theta _{4}+\Phi ,&\theta _{4}&=\Phi ,\end{aligned}}$

qui sont analogues aux équations (2′′) du n^o 105.

Des équations (14), on peut tirer les $\theta$ sous la forme de séries ordonnées suivant les puissances de $w$ et de $e^{-t{\sqrt {-1}}}$ et qui sont analogues aux séries (4′) du n^o 104. Des équations (15), on peut tirer les $\theta$ sous la forme de séries ordonnées suivant les puissances des mêmes variables et analogues aux séries (4′′) du n^o 105. Chacun des termes de ces dernières séries est positif et plus grand en valeur absolue que le terme correspondant des premières séries^[1] si donc elles convergent, il en est de même des séries tirées des équations (14).

1. Voir plus loin la démonstration donnée en détail dans un cas analogue se rapportant aux équations (21) et (21 bis)\,;