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CHAPITRE VII.
Ces séries seront convergentes pourvu que
ne dépasse pas une certaine limite que j’appellerai Comparons
maintenant les équations (21) et les fonctions qui y
satisfont, avec les équations (21 bis) et les fonctions
qui y satisfont.
Je me propose d’établir que
t
(Je fais remarquer que ne figure pas parmi les arguments
par rapport auxquels est prise cette inégalité.)
En effet, soit et l’ensemble des termes de et de
qui sont de degré au plus en supposons que l’on ait établi que
Je vais faire voir que
J’aurai alors établi par récurrence l’inégalité à démontrer.
Si l’on substitue dans et dans à la place des et des
les développements de ces quantités suivant les puissances de
et de ces fonctions et deviendront elles-mêmes
développables suivant les puissances de et de
Désignons encore par et l’ensemble des termes de degré
au plus en
Si alors on aura aussi
Soit alors
un terme de et
le terme correspondant de on aura
Soient alors
les termes correspondants de et de