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CHAPITRE VII.
Ces séries
seront convergentes pourvu que
ne dépasse pas une certaine limite que j’appellerai
Comparons
maintenant les équations (21) et les fonctions
qui y
satisfont, avec les équations (21 bis) et les fonctions
qui y satisfont.
Je me propose d’établir que
t
![{\displaystyle u_{i}\ll u_{i}'\left(\mathrm {arg.} \;w,\,e^{\pm t{\sqrt {-1}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76ed1dae7469f77048a849c2baa7be1ca6b1c957)
(Je fais remarquer que
ne figure pas parmi les arguments
par rapport auxquels est prise cette inégalité.)
En effet, soit
et
l’ensemble des termes de
et de
qui sont de degré
au plus en
supposons que l’on ait établi que
![{\displaystyle u_{i}^{n}\ll u_{i}'^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb8a6c376dfea1ab3bfe1ed6da14aa194163812f)
Je vais faire voir que
![{\displaystyle u_{i}^{n+1}\ll u_{i}'^{n+1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0845b41c2b998b4afcae96aec0356d139c3cf74d)
J’aurai alors établi par récurrence l’inégalité à démontrer.
Si l’on substitue dans
et dans
à la place des
et des
les développements de ces quantités suivant les puissances de
et de
ces fonctions
et
deviendront elles-mêmes
développables suivant les puissances de
et de
Désignons encore par
et
l’ensemble des termes de degré
au plus en
Si alors
on aura aussi
![{\displaystyle \mathrm {V} _{i}^{n+1}\ll \Phi '^{n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee96cb2e6e368338aba22a9a48adc5fbce4e47f7)
Soit alors
![{\displaystyle \mathrm {A} \,w^{n+1}\,e^{pt{\sqrt {-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3399767ff42e6fd987dd2661cd264dc8469f5a0)
un terme de
et
![{\displaystyle \mathrm {A} _{i}\,w^{n+1}\,e^{pt{\sqrt {-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c5a6094ffab39c3a61ec0d6d9b17f127536f869)
le terme correspondant de
on aura
![{\displaystyle |\mathrm {A} _{i}|<\mathrm {A} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4b8a8d7f90736b22b76918dff2a0a186e28e740)
Soient alors
![{\displaystyle \mathrm {B} _{i}\,w^{n+1}\,e^{pt{\sqrt {-1}}}\quad \mathrm {et} \quad \mathrm {B} _{i}'\,w^{n+1}\,e^{pt{\sqrt {-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/200b9d4147033dcef04aedd696451bb9e3174ac4)
les termes correspondants de
et de ![{\displaystyle u_{i}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/244434f04a91d93ff9fecae30396773972448895)