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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

Les équations (21) et (21 bis) nous donnent alors

${\begin{aligned}\mathrm {B} _{1}={\frac {\mathrm {A} _{1}}{{\dfrac {p\,{\sqrt {-1}}}{\alpha }}+n}},\qquad \mathrm {B} _{2}&={\frac {\mathrm {A} _{2}}{{\dfrac {p\,{\sqrt {-1}}}{\alpha }}+n+2}},\qquad \mathrm {B} _{4}={\frac {\mathrm {A} _{4}}{{\dfrac {p\,{\sqrt {-1}}}{\alpha }}+n+1}},\\[1ex]\mathrm {B} _{3}&={\frac {\mathrm {B} _{4}+\mathrm {A} _{3}}{{\dfrac {p\,{\sqrt {-1}}}{\alpha }}+n+1}}\cdot \\[1ex]\mathrm {B} _{1}'=\mathrm {B} _{2}'&=\mathrm {B} _{4}'=\mathrm {A} ,\qquad \mathrm {B} _{1}'=\mathrm {B} _{4}'+\mathrm {A} .\\\end{aligned}}$

Comme

$\left|{\frac {p\,{\sqrt {-1}}}{\alpha }}+n\right|>1,$

on a

$|\mathrm {B} _{i}|<\mathrm {B} _{i}',$

d’où

$u_{i}^{n+1}\ll u_{i}'^{n+1},$

et par récurrence

$u_{i}\ll u_{i}'$

C.Q.F.D.

Comme cette inégalité est prise par rapport aux arguments $w$ et $e^{t{\sqrt {-1}}},$ elle peut être différentiée tant par rapport à $w$ que par rapport à $t,$ de sorte que l’on a

${\begin{aligned}{\frac {du_{i}}{dt}}&\ll {\frac {du_{i}'}{dt}},&{\frac {du_{i}}{dw}}&\ll {\frac {du_{i}'}{dw}},&{\frac {d^{2}u_{i}}{dw^{2}}}&\ll {\frac {d^{2}u_{i}'}{dw^{2}}},&&\ldots .\end{aligned}}$

Soit $u_{i}'^{0}$ la valeur de $u_{i}'$ pour $t=0\,;$ si $u_{i}\ll u_{i}',$ on aura pour les valeurs positives de $w$

$|u_{i}|<u_{i}'^{0}.$

Mais $u_{i}'^{0}$ est développable suivant les puissances de $\alpha \,:$ on peut donc lui assigner une limite supérieure indépendante de $\alpha$ pour les petites valeurs de $\alpha$ puisqu’il tend vers une limite finie quand $\alpha$ tend vers o.

Il en est de même, en vertu des inégalités que nous venons d’établir de $|u_{i}|.$

On démontrerait de même qu’il en est encore ainsi des dérivées

$\left|{\frac {du_{i}}{dt}}\right|,\quad \left|{\frac {du_{i}}{dw}}\right|,\quad \left|{\frac {d^{2}u_{i}}{dw^{2}}}\right|.$
C.Q.F.D.