365
SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
On voit alors que les
ne contiennent que des termes du
deuxième degré au moins par rapport à
et aux ![{\displaystyle u_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23f89c186305a7404fa27735b8db0514aa6d3447)
En effet, les
sont divisibles par
et se réduisent à
ou à 0
quand on y supprime les termes de degré supérieur au premier
en
Il en résulte d’abord que
est divisible par
D’autre part, le second membre de l’équation (17) ne contiendra que des
termes du premier degré au moins par rapport à
et
Donc
ne contient que des termes du deuxième degré par rapport à
et
aux
Il en résulte que les seuls termes du premier degré qui
peuvent subsister dans
et
se réduisent respectivement
à
et 0.
D’ailleurs
est divisible par
donc les
ne contiennent que des termes du deuxième degré au moins.
C.Q.F.D.
Des équations (21) on peut tirer les
sous la forme de séries
développées suivant les puissances de
et de
En appliquant
à ces équations le même raisonnement qu’aux équations (14), je
vais démontrer que ces séries convergent quand
et que
la convergence reste uniforme quelque petit que soit
Il en sera de même pour les séries qui représentent
Il résultera de là qu’on peut assigner une limite supérieure indépendante
de
à
à
pourvu que
Je montrerai ensuite plus loin, aux nos 116 et 117, que cela a
encore lieu pour toutes les valeurs positives de
Soit en effet
une fonction développée suivant les puissances de
des
de
et de
et telle que l’on ait
(pour
)
![{\displaystyle \mathrm {V} _{i}<\Phi \left(\mathrm {arg.} u_{1},\,u_{2},\,u_{3},\,u_{4},\,\alpha ,\,w,\,e^{\pm t{\sqrt {-1}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad3b6ae069c5c7c3f3db0bcb66bdbd8d758b516f)
Soit
ce que devient
quand on y remplace
par
Envisageons les équations suivantes
(21 bis)
|
|
|
analogues aux équations (15). Il est clair que ces équations admettront
une solution telle que
soient développables
suivant les puissances de
de
et de
et s’annulent avec
![{\displaystyle w.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d358cd6be4381ccfa44bd5702785437956d6e23f)