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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
On voit alors que les ne contiennent que des termes du
deuxième degré au moins par rapport à et aux
En effet, les sont divisibles par et se réduisent à ou à 0
quand on y supprime les termes de degré supérieur au premier
en Il en résulte d’abord que est divisible par
D’autre part, le second membre de l’équation (17) ne contiendra que des
termes du premier degré au moins par rapport à et Donc
ne contient que des termes du deuxième degré par rapport à et
aux Il en résulte que les seuls termes du premier degré qui
peuvent subsister dans et
se réduisent respectivement
à et 0.
D’ailleurs est divisible par donc les
ne contiennent que des termes du deuxième degré au moins.
C.Q.F.D.
Des équations (21) on peut tirer les sous la forme de séries
développées suivant les puissances de et de En appliquant
à ces équations le même raisonnement qu’aux équations (14), je
vais démontrer que ces séries convergent quand et que
la convergence reste uniforme quelque petit que soit
Il en sera de même pour les séries qui représentent
Il résultera de là qu’on peut assigner une limite supérieure indépendante
de à à
pourvu que
Je montrerai ensuite plus loin, aux nos 116 et 117, que cela a
encore lieu pour toutes les valeurs positives de
Soit en effet une fonction développée suivant les puissances de
des de et de et telle que l’on ait
(pour )
Soit ce que devient quand on y remplace
par
Envisageons les équations suivantes
(21 bis)
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analogues aux équations (15). Il est clair que ces équations admettront
une solution telle que soient développables
suivant les puissances de de et de et s’annulent avec