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CHAPITRE VII.

Réduction à la forme canonique.

113.Observons que les équations (14) et de même les équations (21) peuvent se mettre sous la forme canonique.

En effet, si nous posons, comme au début du n^o 110,

${\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t)+\xi _{i},&y_{i}&=\psi _{i}(t)+\eta _{i},\end{aligned}}$

les équations canoniques du mouvement

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\end{aligned}}$

deviendront

${\begin{aligned}{\frac {d\xi _{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} ^{\star }}{d\eta _{i}}},&{\frac {d\eta _{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} ^{\star }}{d\xi _{i}}}\end{aligned}}$

$\mathrm {F} ^{\star }$ étant défini de la manière suivante.

Quand, dans $\mathrm {F} ,$ on remplace $x_{i}$ et $y_{i}$ par $\varphi _{i}+\xi _{i}$ et $\psi _{i}+\eta _{i},$ cette fonction $\mathrm {F}$ peut se développer suivant les puissances des $\xi$ et des $\eta ,$ les coefficients étant des fonctions périodiques de $t.$ Soit alors $\mathrm {F} '$ l’ensemble des termes de degré 0 et 1 par rapport aux $\xi$ et aux $\eta \,;$ nous poserons

$\mathrm {F} ^{\star }=\mathrm {F} -\mathrm {F} '.$

Si nous désignons par $\delta \xi _{i}$ et $\delta \eta _{i}$ des accroissements virtuels quelconques de $\xi _{i}$ et de $\eta _{i}$ et par $\delta \mathrm {F} ^{\star }$ l’accroissement correspondant de $\mathrm {F} ^{\star },$ ces équations peuvent s’écrire

${\textstyle \sum }\left(d\xi _{i}\,\delta \eta _{i}-d\eta _{i}\,\delta \xi _{i}\right)=\delta \mathrm {F} ^{\star }\,dt.$

Que devient cette équation quand on prend pour variables nouvelles les $\theta _{i}\,?$

Adoptant une notation analogue à celle du n^o 70, nous poserons

$(\mathrm {U} ,\mathrm {U} ')={\textstyle \sum }(\mathrm {S} _{i}\mathrm {T} _{i}'-\mathrm {S} _{i}'\mathrm {T} _{i})$

et nous définirons de même $(\mathrm {U} ,\mathrm {U} ''),\,(\mathrm {U} ',\mathrm {U} ''),\,\ldots .$ Le n^o 70 nous apprend que toutes ces quantités sont nulles, à l’exception de $(\mathrm {U} ,\mathrm {U} ')$ et $(\mathrm {U} '',\mathrm {U} ''')$ qui sont des constantes. Ces constantes doivent