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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
et nos équations deviendront
(5)
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La seule différence de forme entre les équations (3) et les équations
(5), c’est alors que les seconds membres des équations (3)
dépendent de
et ne s’annulent pas pour
![{\displaystyle x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{n}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52bf1250fc2108e116b790ef505b26e63003d3e7)
Mais il est aisé de faire disparaître cette différence de forme. Il
suffit pour cela d’adjoindre aux équations (3) l’équation suivante
![{\displaystyle {\frac {dx_{n+1}}{dt}}+\alpha \,w\,{\frac {dx_{n+1}}{dw}}=\alpha \,x_{n+1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd04b6647665faefa0be4f1e49c80bdc66811832)
qui admet pour solution
et de remplacer
par
dans les fonctions
Alors ces fonctions
ne contiennent plus
et s’annulent pour
![{\displaystyle x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{n+1}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47ff803e0394dcb18b1b7117a030d0d83ebe17a7)
Nous pouvons donc appliquer aux équations (3) et (3 bis) les
résultats du no 104 et conclure que ces équations admettent des
solutions de la forme (4).
Le calcul des coefficients
se fait très facilement
par récurrence en appliquant les procédés du no 104.
Supposons donc que l’on trouve ainsi
![{\displaystyle |\mathrm {A} _{i,2}|<\mathrm {A} _{i,2}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ce844fccf76b9a7f2208edb5130df4e6f4e825)
et cela quel que soit ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Nous en conclurons que
![{\displaystyle \lim \left|{\frac {x_{i}}{w^{2}}}\right|<\lim {\frac {x_{i}'}{w^{2}}}\qquad (\mathrm {pour} \;w=0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1b81a04cf1d493693d0de42ec46b757ff1ddad8)
et, par conséquent, qu’on peut trouver une valeur
de
assez
petite pour que l’on ait
![{\displaystyle |x_{i}|<x_{i}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c71d7a18593eaf995de92dd1b086cc2b379a917a)
pour toutes les valeurs réelles de
et pour toutes les valeurs de
plus petites que
et plus grandes que 0.