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CHAPITRE I.

Venons maintenant au cas général et reprenons les notations du n^o 11.

Posons

(2)

$\left\{{\begin{array}{l}{\begin{aligned}\beta \,\,\mathrm {L} \,\,&=\Lambda ,&\beta \,\,\mathrm {G} \,\,&=\Lambda \,\,-\mathrm {H} ,&\beta \,\,\Theta \,\,&=\Lambda \,\,-\mathrm {H} \,\,-\mathrm {Z} ,\\\beta '\mathrm {L} '&=\Lambda ',&\beta '\mathrm {G} '&=\Lambda '-\mathrm {H} ',&\beta '\Theta '&=\Lambda '-\mathrm {H} '-\mathrm {Z} ',\end{aligned}}\\{\begin{aligned}\lambda \,\,&=l\,\,+g\,\,+\theta ,&h\,\,&=-g\,\,-\theta ,&\zeta \,\,&=-\theta ,\\\lambda '&=l'+g'+\theta ',&h'&=-g'-\theta ',&\zeta '&=-\theta '.\end{aligned}}\end{array}}\right.$

On vérifierait, comme ci-dessus, que ce changement de variables (2) n’altère pas la forme canonique des équations.

Cette forme canonique ne sera pas altérée non plus, d’après la remarque du n^o 6, si nous faisons

(3)

$\left\{{\begin{aligned}{\sqrt {2\mathrm {H} }}\,\cos h\,\,&=\xi ,&{\sqrt {2\mathrm {H} }}\,\sin h\,\,&=\eta ,\\{\sqrt {2\mathrm {H} '}}\cos h'&=\xi ',&{\sqrt {2\mathrm {H} '}}\sin h'&=\eta ',\\{\sqrt {2\mathrm {Z} }}\,\cos \zeta \,\,&=p,&{\sqrt {2\mathrm {Z} }}\,\sin \zeta \,\,&=q,\\{\sqrt {2\mathrm {Z} '}}\cos \zeta '&=p'&{\sqrt {2\mathrm {Z} '}}\sin \zeta '&=q'.\\\end{aligned}}\right.$

Les équations restent canoniques et les deux séries de variables conjuguées sont les suivantes :

(4)

$\left\{{\begin{array}{llllll}\Lambda ,&\Lambda ',&\xi ,&\xi ',&p,&p',\\\lambda ,&\lambda ',&\eta ,&\eta ',&q,&q'.\\\end{array}}\right.$

Voici quel avantage peut avoir le choix des variables (4)

La fonction $\mathrm {F} ,$ exprimée à l’aide de ces variables, est développable tant suivant les puissances de $\xi ,\,\xi ',$ $\eta ,\,\eta ',$ $p,\,p',$ $q,\,q'$ que suivant les cosinus et sinus des multiples de $\lambda$ et de $\lambda ',$ les coefficients dépendant d’ailleurs d’une manière quelconque de $\Lambda$ et de $\Lambda '.$

En effet, d’après les définitions des variables précédentes, on a

${\begin{aligned}\mathrm {H} &=\Lambda (1-{\sqrt {1-e^{2}}}),&\mathrm {Z} &=\beta \mathrm {G} (1-\cos i)\,;\end{aligned}}$

on déduit de là :

1^o Que $\mathrm {H}$ est développable suivant les puissances de $\textstyle e^{2},$ le premier terme du développement étant un terme en $\textstyle e^{2}\,;$

2^o Que $\textstyle e^{2}$ est développable suivant les puissances de $\mathrm {H} ,$ le premier terme étant en $\mathrm {H} \,;$

3^o Que ${\frac {e}{\sqrt {\mathrm {H} }}}$ est développable suivant les puissances de $\mathrm {H} \,;$