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CHAPITRE I.

Le problème se ramène ainsi à l’intégration des équations

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\Phi }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\Phi }{dx_{i}}}&(i=2,\,3,\,\dots ,\,p),\end{aligned}}$

qui sont des équations canoniques ne comportant plus que $p-1$ degrés de liberté.

Ainsi, si, en général, on connaît une intégrale d’un système d’équations différentielles, on pourra abaisser l’ordre du système d’une unité ; mais, si ce système est canonique, on pourra en abaisser l’ordre de deux unités.

Prenons pour exemple le problème du mouvement d’un corps pesant suspendu à un point fixe ; nous avons vu que ce problème comporte 3 degrés de liberté ; mais on connaît une intégrale qui est celle des aires ; le nombre des degrés de liberté peut donc être abaissé à 2.

Qu’arrive-t-il maintenant lorsqu’on connaît, non plus une seule, mais $q$ intégrales des équations (1) ?

Soient

$\mathrm {F} _{1},\;\mathrm {F} _{2},\;\dots ,\;\mathrm {F} _{q}$

ces $q$ intégrales, de sorte que

$\left[\mathrm {F} ,\mathrm {F} _{1}\right]=\left[\mathrm {F} ,\mathrm {F} _{2}\right]=\dots =\left[\mathrm {F} ,\mathrm {F} _{q}\right]=0.$

Peut-on, à l’aide de ces intégrales, abaisser de $q$ unités le nombre des degrés de liberté ? Cela n’aura pas lieu en général ; il faut pour cela que les $q+1$ équations aux dérivées partielles

(6)

$\mathrm {F} =\mathrm {const.} ,\quad \mathrm {F} _{1}=\mathrm {const.} ,\quad \mathrm {F} _{2}=\mathrm {const.} ,\quad \dots \quad \mathrm {F} _{q}=\mathrm {const.}$

soient compatibles ; ce qui exige les conditions

(7)

$\left[\mathrm {F} _{i},\mathrm {F} _{k}\right]=0\qquad (i,k=1,\,2,\,\dots ,\,q).$

Si les conditions (7) sont remplies, on éliminera entre les équations (6)

${\frac {d\mathrm {S} }{dx_{1}}},\quad {\frac {d\mathrm {S} }{dx_{2}}},\quad \dots ,\quad {\frac {d\mathrm {S} }{dx_{q}}}\,,$

et l’on arrivera à une équation aux dérivées partielles $\Phi =0,$ où ces $q$ dérivées n’entreront plus et que l’on pourra considérer