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CHAPITRE I.

sera-t-elle encore compatible avec le système

(6)

$\mathrm {F} =\mathrm {const.} ,\quad \mathrm {F} _{1}=\mathrm {const.} ,\quad \dots ,\quad \mathrm {F} _{q}=\mathrm {const.} \;?$

On voit tout de suite que la condition nécessaire et suffisante pour qu’il en soit ainsi, c’est que l’on ait

$\left[\mathrm {F} ,\mathrm {F} _{q+1}\right]=\left[\mathrm {F} _{3},\mathrm {F} _{q+1}\right]=\dots \left[\mathrm {F} _{q},\mathrm {F} _{q+1}\right]=0.$

Revenons, par exemple, au Problème des trois Corps et considérons les trois intégrales des aires

(9)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {F} _{4}&=x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}+x_{5}y_{6}-x_{6}y_{5}+x_{8}y_{9}-x_{9}y_{8}=\mathrm {const.} ,\\\mathrm {F} _{5}&=x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}+x_{6}y_{4}-x_{4}y_{6}+x_{9}y_{7}-x_{7}y_{9}=\mathrm {const.} ,\\\mathrm {F} _{6}&=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{4}y_{5}-x_{5}y_{4}+x_{7}y_{8}-x_{8}y_{7}=\mathrm {const.} \end{aligned}}\right.$

Il est aisé de vérifier que l’on a

${\begin{aligned}\left[\mathrm {F} _{1},\mathrm {F} _{4}\right]&=0,&\left[\mathrm {F} _{2},\mathrm {F} _{4}\right]&=+\mathrm {F} _{3},&\left[\mathrm {F} _{3},\mathrm {F} _{4}\right]&=-\mathrm {F} _{2},\\\left[\mathrm {F} _{1},\mathrm {F} _{5}\right]&=-\mathrm {F} _{3},&\left[\mathrm {F} _{2},\mathrm {F} _{5}\right]&=0,&\left[\mathrm {F} _{3},\mathrm {F} _{5}\right]&=+\mathrm {F} _{1},\\\left[\mathrm {F} _{1},\mathrm {F} _{6}\right]&=+\mathrm {F} _{2},&\left[\mathrm {F} _{2},\mathrm {F} _{6}\right]&=-\mathrm {F} _{1},&\left[\mathrm {F} _{3},\mathrm {F} _{6}\right]&=0.\end{aligned}}$

On ne diminue pas la généralité du problème en supposant que le centre de gravité est fixe, c’est-à-dire que les constantes qui entrent dans les derniers membres des équations (8) sont toutes trois nulles.

On aura alors

$\mathrm {F} _{1}=\mathrm {F} _{2}=\mathrm {F} _{3}=0$

et, par conséquent,

$\left[\mathrm {F} _{i},\mathrm {F} _{k}\right]=0\qquad (i=1,\,2,\,3\,;\;k=4,\,5,\,6),$

ce qui montre que les intégrales des aires sont encore des intégrales du système réduit.

Pour terminer, je vais chercher à réduire autant que possible le nombre des degrés de liberté dans le Problème des trois Corps, en tenant compte à la fois des intégrales du centre de gravité et de celles des aires.

Dans le cas particulier où les trois corps se meuvent dans un plan, nous avons vu que le nombre des degrés de liberté pouvait être ramené à 4, en tenant compte des équations (8). Le problème