ainsi réduit comporte encore une intégrale qui est celle des aires, ce qui permet de réduire à 3 le nombre des degrés de liberté.
Dans le cas général, il est aisé de voir que l’on a
Les trois crochets n’étant pas nuls, la connaissance des trois intégrales des aires ne permet pas de réduire de 3 le nombre des degrés de liberté.
Mais il est aisé de voir que toutes les fois qu’un système canonique admettra trois intégrales
il sera toujours possible de trouver deux combinaisons de ces intégrales
ce qui permettra de réduire de deux unités le nombre des degrés de liberté.
Dans le cas qui nous occupe, ces combinaisons s’aperçoivent immédiatement ; il suffira de prendre et
On aura alors identiquement
Il n’y aura plus ainsi, toute réduction faite, que 4 degrés de liberté.
Si l’on se rappelle qu’un système canonique comportant degrés de liberté peut être ramené à l’ordre on devra conclure que le Problème des trois Corps dans le cas général comporte 4 degrés de liberté et peut être ramené au sixième ordre.
Dans le cas du mouvement plan, il comporte 3 degrés de liberté et peut être ramené au quatrième ordre.
Dans le cas particulier du no 9, il comporte 2 degrés de liberté, et peut être ramené au second ordre.