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CHAPITRE I.

d’où

${\frac {d\mathrm {F} }{d\Gamma }}={\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {G} }}{\frac {d\mathrm {G} }{d\Gamma }}+{\frac {d\mathrm {F} }{d\Theta }}{\frac {d\Theta }{d\Gamma }}+{\frac {d\mathrm {F} }{d\Theta '}}{\frac {d\Theta '}{d\Gamma }}$

ou

${\frac {d\mathrm {F} }{d\Gamma }}={\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {G} }}+{\frac {d\mathrm {F} }{d\Theta }}{\frac {\beta \Gamma }{\mathrm {C} }}-{\frac {d\mathrm {F} }{d\Theta '}}{\frac {\beta ^{2}\Gamma }{\beta '\mathrm {C} }}$

ou enfin, en vertu de l’équation (2),

${\frac {d\mathrm {F} }{d\Gamma }}={\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {G} }}$

et de même

${\frac {d\mathrm {F} }{d\Gamma '}}={\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {G} '}}.$

La constante des aires $\mathrm {C}$ peut être regardée comme une donnée de la question.

Si donc dans $\mathrm {F}$ on remplace $\mathrm {G} ,$ $\mathrm {G} ',$ $\Theta$ et $\Theta '$ par leurs valeurs (3) et (4), $\mathrm {F}$ ne dépend plus que de $\mathrm {L} ,$ $\mathrm {L} ',$ $l,$ $l',$ $g,$ g$',$ $\Gamma$ et $\Gamma ',$ et les équations du mouvement peuvent s’écrire

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {L} }{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,dl}},&{\frac {d\Gamma }{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,dg}},&{\frac {d\mathrm {L} '}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,dl'}},&{\frac {d\Gamma '}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,dg'}},\\{\frac {dl}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,d\mathrm {L} }},&{\frac {dg}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,d\Gamma }},&{\frac {dl'}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,d\mathrm {L} '}},&{\frac {dg'}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,d\Gamma '}},\end{aligned}}$

et il n’y a plus que 4 degrés de liberté.

Forme de la fonction perturbatrice.

17.Il importe de voir quelle est la forme de la fonction $\mathrm {F}$ quand on adopte les variables des deux numéros précédents.

Supposons d’abord que l’on prenne les variables du n^o 15 et que les trois corps se meuvent dans un même plan ; la fonction $\mathrm {F}$ ne dépendant que des distances des trois corps sera développable suivant les cosinus et les sinus des multiples de $l-l'+h\,;$ les coefficients de ce développement seront eux-mêmes développables suivant les puissances croissantes de

$e\cos l,\quad e\sin l,\quad e'\cos l',\quad e'\sin l'$

en désignant par $e$ et $e'$ les excentricités ; enfin les coefficients de