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GÉNÉRALITÉS ET MÉTHODE DE JACOBI.

ces nouveaux développements seront eux-mêmes des fonctions uniformes de $\mathrm {L}$ et de $\mathrm {L} '.$

Je poserai, pour abréger,

$\beta \mathrm {L} =\Lambda ,\qquad \beta '\mathrm {L} '=\Lambda '\,;$

il vient alors, d’après la définition de $\mathrm {H} ,$

${\begin{aligned}e&={\frac {1}{\Lambda }}{\sqrt {\Lambda ^{2}-\mathrm {H} ^{2}}},&e'&={\frac {1}{\Lambda '}}{\sqrt {\Lambda '^{2}-(\mathrm {H} -\mathrm {C} )^{2}}}\,.\end{aligned}}$

Ajoutons que $\mathrm {F}$ ne change pas quand $l,l'$ et $h$ changent de signe ; par conséquent, si l’on développe $\mathrm {F}$ suivant les cosinus et les sinus des multiples de ces trois variables, le développement ne pourra contenir que des cosinus.

On aura donc finalement

$\mathrm {F} =\sum \mathrm {A} (\Lambda ^{2}-\mathrm {H} ^{2})^{\frac {p}{2}}\left[\Lambda '^{2}-(\mathrm {H} -\mathrm {C} )^{2}\right]^{\frac {q}{2}}\cos(m_{1}l+m_{2}l'+m_{3}h),$

$p$ et $q$ sont des entiers positifs, $m_{1},m_{2}$ et $m_{3}$ des entiers quelconques, $\mathrm {A}$ est un coefficient qui ne dépend que de $\Lambda$ et de $\Lambda '.$ De plus $|m_{3}-m_{1}|$ est au plus égal à $p$ et n’en peut différer que d’un nombre pair ; de même, $|m_{3}+m_{2}|$ est au plus égal à $q$ et n’en peut différer que d’un nombre pair.

Un pareil développement est valable quand $\Lambda -\mathrm {H}$ et $\Lambda '-(\mathrm {C} -\mathrm {H} )$ sont suffisamment petits ; on voit que pour

$\Lambda =\mathrm {H}$

tous les termes s’annulent, sauf ceux pour lesquels $m_{3}=m_{1}.$

De même, si l’on a

$\Lambda '=\mathrm {C} -\mathrm {H} ,$

tous les termes s’annulent, sauf ceux pour lesquels $m_{3}=-m_{2}.$

Par conséquent, si l’on a à la fois

$\Lambda =\mathrm {H} ,\qquad \Lambda '=\mathrm {C} -\mathrm {H} ,$

tous les termes s’annuleront, sauf ceux pour lesquels

$m_{3}=m_{1}=-m_{2}$

de sorte que $\mathrm {F}$ devient une fonction de $l-l'+h.$