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GÉNÉRALITÉS ET MÉTHODE DE JACOBI.

18.Prenons maintenant les variables du n^o 16, c’est-à-dire

${\begin{aligned}\beta \mathrm {L} &=\Lambda ,&\beta '\mathrm {L} '&=\Lambda ',&\beta \Gamma &=\mathrm {H} ,&\beta '\Gamma '&=\mathrm {H} ',\\l&,&l'&,&g&,&g'&.\\\end{aligned}}$

Les variables $\mathrm {H}$ et $\mathrm {H} '$ sont manifestement assujetties à certaines inégalités ; on a

$\mathrm {H} =\Lambda {\sqrt {1-e^{2}}}$

d’où

(1)

$\Lambda ^{2}>\mathrm {H} ^{2}$

De même

(2)

$\Lambda '^{2}>\mathrm {H} '^{2}$

On a, d’autre part, en vertu de l’équation des aires,

${\begin{aligned}\mathrm {H} \cos i+\mathrm {H} '\cos i'&=\mathrm {C} ,&\mathrm {H} \sin i+\mathrm {H} '\sin i'&=0,\end{aligned}}$

$\mathrm {C}$ étant la constante des aires qui doit être regardée comme une des données de la question. On en déduit les inégalités

(3)

$\left\{{\begin{array}{l}|\mathrm {H} |+|\mathrm {H} '|>|\mathrm {C} |\\|\mathrm {H} |-|\mathrm {H} '|<|\mathrm {C} |\\\end{array}}\right.$

Voyons maintenant comment la fonction $\mathrm {F}$ dépend de nos variables.

Pour les valeurs de $\mathrm {H}$ voisines de $\Lambda ,$ la fonction $\mathrm {F}$ n’est plus holomorphe par rapport à $\mathrm {H} \,;$ elle n’est plus développable suivant les puissances entières de $\Lambda -\mathrm {H} ,$ mais suivant celles de ${\sqrt {\Lambda -\mathrm {H} }}.$

On peut alors employer avec avantage les variables suivantes. Posons

${\begin{aligned}l+g&=\lambda ^{\star },&{\sqrt {2(\Lambda -\mathrm {H} )}}\cos g&=\xi ^{\star },&{\sqrt {2(\Lambda -\mathrm {H} )}}\sin g&=\eta ^{\star }.\end{aligned}}$

les équations conserveront la forme canonique, si l’on prend comme variables indépendantes

${\begin{array}{rrrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\xi ^{\star },&\mathrm {H} ',\\\lambda ^{\star },&l',&\eta ^{\star },&g'\,;\\\end{array}}$

de plus, la fonction $\mathrm {F}$ sera alors développable suivant les puissances entières de $\xi ^{\star }$ et de $\eta ^{\star }.$